F.T METHODES D'E\ ALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. II. IV. W. 10, 71. 



übjections, lorsqu'on iic voudrait pas einployer la correctiou nécessaire dans uii tel cas. On peut aller 

 h rcucontre de ces oi)jcctioiis en changeant la limite superieure de y 1'infini en k, sauf d'examiner 

 plus tard si, les transforuiations faites, ce k pourrait devenir 1'iufini. Soit donc : 



1= I d^ I •pc-P^'U — qe-1^)f{.r)dx = lf{x)dx l [pc-V^y — qc-l'^y) dy 

 o o o "o 



ƒa j 1 — e-pi-r 1 e— f/^-rj ra g— ï^r g-pi-x 

 f{x) dx \p — q -\ = ƒ ƒ (*) dx. 

 o 'o 



Au lieu de /(r), il est permis de mcttre ici, suivant Ie theorema de Maclaükin ƒ^0) -f- «/'(9.ï}, 

 oil O <^ 9 <^ 1 ; par la substitution de cette valeur on obtient : 



ff g—qkx g — jilx rag — qkx g—pkx fa 



I = ƒ {fO) + ,rf{0x)] ■ dx =/(0) ; dx-\- {e-'J'^-^-—e-l>^^)f{Bx)d.v. . (252) 



o "o 'o 



Lorsque luainteiiant ƒ' ( e) et par conséquent ƒ' (5 .r) sont finies entre les limites O et a de a-, — ce 

 qui est une condition nécessaire pour que f (x) reste continue entre ces mêmes limites, comme il 

 faut Ie supposer dans l'intégrale doublé en discussion, — alors, pour la limite co de k la fonction 

 e-qkx — e— p/x (lisparatt tout-ïi-fait, et avec elle toute l'intégrale dernière de la formule (252). On 

 trouve dès-lors: 



rk ra rag-qkx _ g-pkx 



f dij j [pe-P^>J — qe-'i^y)f{x)dx ---= f{0) I dx, 'Lira. k = oc. 



Mais on trouve Partie IIT, Métb. 16, N'. 3, que la dernière integrale a pour valeur, lorsque k 

 P 

 9 



P 

 diverfre vers 1 infiiii, 1-. Donc 



f-l' 



{pe-P^y — qe-i^y)f{x)dr=f{0)l~; (253) 



oü a est une quantité positivo tout-ïl-fait arbitraire, c'est-a-dire 0<:^a<^ oc. On y a supposé 

 que ƒ (.r), aussi bien que /'(.r), soit continue entre les limites O et a de Tintégratiou. [73]. 



71. Au Numero Go de cette Partie on a trouve la formule (2-12), qui devient par Ie chan- 

 gement de p en 2?/ et en ^ \' y successivement : 



I e-^\f{-2xy)dx = i' rrl: ^ <^(2«) (0), f e-^' q, {2 x y/ y) dx = i' n È ^^c^{2'>)(0); 



— 00 — at 



OU 1 on a supposé qu'ou puisse développer cp (x) suivant Ie théorème de Maclvurin. On peut 



[73] ScnLÖMiLCH, Giunert's Archiv, Bd. 11, S. 63. 

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