PARTIE TROISIEME. 



ÉVALUATION DES INTÉGRALES DEFINIES. 



CONSIDÉEATIONS PRÉLIMINAIRES. 



1. Lorsqu'ou veut évaluer une integrale déliiiie quelconque, c'est-a-dire en trouver la valeur, 

 soit sous une forme fiiiie, soit sous celle d'uiie série, il faut s'adresser nécessairement h la Partie 

 Première, oü se trouveut exposés les principes de la theorie de ces fonctions. En eiTet on en 

 a déduit plusieurs methodes toutes plus ou moins iudirectes, et enlre lesquelles, éparses par-oi 

 et par-la, il u'existait aucune sorte de lien ni de conséquence logique: quelquefois même elles 

 semblaient être en contradiction. On a déjti eu difierents exemples de ces methodes dans la 

 Partie Deuxième, mais dans cette Partie-ci ou va les réunir et tacher d'en faire en quelque sorte 

 un corps eutier. Il s'ensuit déja que Ie but et la methode de la Deuxième et de la Troisième Partie 

 different essentiellement: la, Ie but principal consrstait dans les résultats, d'après lesquels se réglait 

 la division, et Ton n'avait pas besoin de faire attentiou a la methode, qui y avait conduit: ici au 

 contraire ce sout les methodes elles-mêmes, que nous avuns a considérer, de telle sorte qu'elles 

 doivent régir la division, et que Ton n'aura pas besoin de savoir quelle espèce de résultat clles 

 produiront : or, il arrive souvent, que la mème methode donne lieu tantot a une expression finie, 

 taiitót a une série, suivaut les circonstances particulières de chaque application spéciale. 



Pour obteuir quelque ordre dans ces methodes si dillereutes, et pour en donner un apergu 

 bien ordonné, il fallait absolument les ranger sous des tities dislincts. 11 m'a semblé qu'uu 

 pourrait convenablement admettre les Sections suivantes: on y a rassemblé les methodes, 

 Section 1, qui sont directes. 



// 2, qui ramèuent a des intégrales définies. 



" 3, qui réduisent a des intégrales déünies doubles. 



// 4, qui mènent a des séries. 



// 5, qui donnent lieu a des équations différentielles. 



// 6, qui font déduire de nouveaux résultats d'intégrales définies connues. 



// 7, qui n'appartiennent pas proprement aus précédentes. 

 Il ne reste encore que les methodes, qui font évaluer une integrale définie par approximation : 

 mais comme ces résultats ne sont pas des évaluations proprement dites, en ce qu' ils ne sont jamais 

 exacts, j'ai cru devoir les supprimer ici, d'autant plus que ces methodes appartieuneut plutot au 

 calcul des intégrales indéfinies. 



Mais ces methodes ne donnent pas toujours des résultats Ënis: car par exemple dans la Section 

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