in. N'. 1, 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TR.VNSFORMATION, 



Deuxième Tintégrale définie, dont on se proposait de chercher la valeur, est rcduite a une autre 

 fonctiou de ce genre: lorsque la valeur de celle-ci est conuue d'une maniere quelconque, on a 

 atteint Ie but proposé; mais lorsque cette valeur nest pas connue, on a obtenu une relation entre 

 deux intégrales, et ces relations souvent ne manquent pas d'utilité. Encore se peut-il que Tintt;- 

 grale, a laquelle on est conduit par la réduction, soit de tant d'importance, qu'elle constitue une 

 .transcendante particuliere; et alors il y a aussi évaluation, pourvu qu'elle soit une de ces transcen- 

 dantes, dont les valeurs sont déposées dans des tables calculées : mais il n'y a encore que peu de 

 ces fonctions, qui se réjouissent d'une étude particuliere et profonde. Ce qui a élé observé ici a 

 1'égard des intégrales définies, auxquelles on est ramene, vaut de nième des intégrales doubles et 

 des séries, qui se trouveront daprès les methodes des autres Sections. 



2. Mais avant de passer h l'étude de ces dilTérentes methodes il faut que nous fassions pré- 

 céder deux remarques. 



La première concerne les valeurs multiples de certaines fonctions; et c'est ici surtout qu'il 

 faut diriger Tattention sur ces fonctions, puisque en général elles ne se trouvent que dans la valeur 

 d'une integrale définie, et qu'alors il faudra décider de la valeur qu'il faut attribuer a ces fonc- 

 tions, comme il sera plus amplement exposé dans la Methode Première. Contentons-nous ici de 

 donner les résultats des recherches relatives. On pourra consulter a se sujet : Cauchy, Cours 

 d'Anaiyse Algébrique. Paris. Debure, 1821. Préliminaires. Chap. 1, 9. — Le même, Exercices de 

 Mathématiques. T. J. Année 1826, p. 1. — Le même, LcQons sur le Calcul Difléreutiel. — Le même 

 Exercices d'Anaiyse. T. 1, :i et 4. — Le mêm^, Journal de Liouville, T. J 1, p. 313. — Björlimg, 

 Act. Stockh. 1845, 1847, 1852. — Le même,'Grunert's Arcliiv, Ed. ü, S. 383. — Le même, 

 Grunert's Archiv, Bd. II, S. 31). — Le même, Grunerts Arcliiv, Bd. 21. S. 1. — IjAMARLE, 

 Journal de Liouville, T. Jl, p. 129. 



Soit r uu nombrc cntier quelconque, positif ou uégatif, zéro non excepté; g une quantité 

 finie réelle, pósitive ou négative; ccrivons la valeur générale multiple pour un r quelconque entre 

 de doubles crochets, d'après la notation de Cauchy, la valeur ordinaire entre des croclicts simples, 

 oii diiic r sera zéro, alors on a: 



((.i))7 = J-? [Coi-. 2 ?- 7 TT -f- 1 5m. 2 r (^ tt] , (1) 



((— .ï),ï = A'?[Cos. ((2r-|- 1) ,/Tr} -^ i Sin. ((2r+ 1)?77:]], (2) 



(([))1 = Cos.2r<]7T + iSi.n.ilrq:T T-^e-'l'^', (.3) 



((— l))y = Cos. {(2 r -\- 1)7 jt] + i Sin. {(2 r + 1) ^ jt] = e'2'-+i )?'>■' , (4) 



/f(.r)) =lj; -\-2rni (5) 



/ ((— .T)) -^li- + {-2r+])ni, (G) 



/((])) -2r7r; (7) 



l{{-l))=.(2r-\-l)ni, (8) 



Arcsiii.{{x)) = rn -\- {—ly Aresui..v, —1 < .r < 1 ; (9) 



=- {2r-\.l)n + Ü (,^. + ^ -U.2 _!)) , 1 < .r < <x j (10) 



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