ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. IH, W\ \. N'. 5, 0. 



f ^f =-^ (T.25,N^3),r = '^— . [5]. (T.25,N'.2). 



•o o 



Cette discussion fait voir qu'il faut être prudeut daus la réduction des Ardg. ; on aurait pu garder 



l'exprcssion générale d'Arctff.^ ((^))> P°u'' arriver aux meines résultats. 



f dx [ dx l\x\ ^ , 



6. De l'inte'grale I -, -. On a / — = j4»-csm. - -j- C ; donc : 



• = Arcsin.A-W — Arcsin. UQ)) = {rn-\-( — IV Arcsi7i.-\ — 



o 



P P 



— fr'7r + ( — lyArcsin.O] =( — ly Arcsin.- = Arcsin.- , 9 >p; .... (19) 



q q 



puisque l'intégrale, oü la fonction intégrée reste toujours positive entre les limites, a elle-même une 



valeur positive (P. 1, N°. 12) : (pour q = i- T. 34, N°. 5). Douc on voit que Ie r arbitraire 



s'élimine du résultat : on en déduit : 



dv 1 



Arcsin.- , 9>1; [6] (20) 



l^{q'^ — x^) q 



r? da n f^ dx 



n C^ dx n 



= -, (T. 3-1., W. 6), / — =-. (T. 12, N^ K 



dx 1 i'x' \ , . 



— = — Arcsin. \\—\\-\- C, doiic u laide de (C. P. lü): 



l/(.»^— 5") i \\^q;\ 



{P'-']'} 



— 2r +- TT — il \ = l , o-cl^CP (21) 



l ^2J 9 i l+l/'(l-ï^) ' ^^ "-^ 



[5] Elle se vérifie comme la somme des intégrales (14) et (17). — Ohm, Die Auswerthuugs-Methoden 

 bestimmter Integrale, (System der Mathcmatik, IX'" Theil), Nürnberg. Korn. 1852, XII et 437 S. 8^, la trouve 



(S. 13) egale a — , puisqu'il prend Arctg. ( — >) ^= — \. Par ce qui a été dit au N". 12 de la Première 



Partie il est encore évident que ce rcsultat est fautif'. Car 1 — 2.ïCos. X -f^'* est toujours >1 — %x-\-:c^, 

 donc ^(1 — xy-, donc positif: or, uue telle integrale, oü la fonction intégrée reste constamment positive 

 entre les limites de l'intégration, doit nécessairement avoir une valeur positive, d'aprcs Ie tlii'ort'ine cilé. 

 [6J Au moyen des sabstitutions ï^ = 1 — if- et q^ =^\ -]-ƒ/- on en déduit: 



ƒ0 —ydy I /•! xdx , . f 1 1 , 

 ' = / = Arcsm. \ 1 \ = Arccot. p. 

 ,/(l-2/^) V/{1+^ = _(1_3/^)} j i/(p^+^2)(l_^^) \V{l-\-p^) 

 i o 

 (T. 16, N°. 6). 

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