Hl. M*"". I. N'. 1o, 24. THEORIE, PROPRIÈTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATIOIÏ, 



Cette observation peut souvent rcndre Ie calcul plus facile, lorsque dans ce calcul on garde t) 

 et qu'a Ia fin on prend Ie zero pour d. Soit par exeuiple P(.t') = Ardff. {v, alors on a 



/ƒ(.«) cix = .Irc/^. [(p(a')] -j- C. Lorsque a présent l'équation ff{x) =0 a plusieurs racines réelles 



c^,c^..,c„, (toutes comprises entre les limites a et Z> de Tintégration, car les autres ne nous 

 regardent pas), elle passé du positif au négatif ou inversument pour cliacune de ces racines; donc 

 on trouve alors : 



Mais comme Arctg. [({qp (,i-)))] = r tt + Arctcf. [(j, {ic)'\, ou = r tt — Arctg. [{— (f ic)], selon que cp ( /) 

 est positif OU négatif, et que dans ces intégrales ces cas ont lieu alternativement, ou aura en suppo- 

 sant la première positive : 



/ f{x)d.v = {Arctg.[^[c,-d)]-Arciff.[q{a)]} + [-Arctg.[-cp{c,-d)] + Arctg.[-cp{c, +§)]] + ... 



+ {(-l)«.1rc<y.[(-l)«<p(J)] + (-l)«-i,4rc?<7.[(-l)"<Kc«+^]}; 

 ou quaud elle est négative: 



/ f{x)dw:= [-ArcUj.[-^{c,-ö)]-{.Arctff.[-ci{a)\ } + [Arc(g.[q{c,-S)]-Arctg.[cf{c, +<?)]} +... 

 + {(-1)"-^ '^rclg. [(-l)»-! <p (b)] -f (-1)» Arctg. [(-l)""» <jP (c„+5)]} . 



Mais on a -[- Arctg. [ — rp [ck — 8j\ = — Arctg. Fqn [ck + 5)1, puisque la fonction doit rester continue; 

 par suite : 



{f{x) dx = (- l)«-i Arctg. [(- 1)" g, (6)] - Arctg. [q, (a)] + j 



+ 2 {Arctg.[^>{c,-8)-\-Arctg.[q{c^Jr^)\^Arctg.^{{c,-8)]—...] ; f . , (jj 

 ou = {— l)»-'^ Ardg.'[[—\Y-'^(f>{b)\ — Arctg. \— Cf [a)\ — 



- 2 [Arclg. [g- (c, - ö)] - Arctg.[cp[c^ j^8)\j^Arclg.q{{c,-8)\-...] ; 

 selon que ip(.i) est positive ou négative de a jusques tk c,. 

 24. Soit par exemple l'intégrale: 



r-r'- d.v C+'i j. 



I ~Y~, — 2"= ƒ -d. Arctg.-; 



ici Ie signe de 9 [x) change avec celui de .r, donc pour r'p-q: 



/ '.TTT7 = ; (+ ^'''^^- y ('')] - ^'•<=t9-[- f (- r)] - 2 Arctg. [cf (O + 5)]) = 



j ^^ -r q q 



— r 



l r r 2 /• 

 = - Arclg.- -^ Arctg.- — 2 Arctg. O = -Arctg.-; (1*>1) 



q q q q q 



donc : 



Paste 216. 



