ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGIIALES DÉFINIES. III. J\P. 1. N°. 25, 20. 



25. Exercices. 

 1 =cd.^ = i;(2_2«) + P Arctg.(\A^\ , p^ < 1 ; (T. 7, N=. 11), 



■' (lx . ^ . 1 , 



= Stt, (ï. 30, N". 15], fpour la première il faut considerer la racine .f = 1/ 3, 



l±xi^3-\-x-' 'V . ;mi ; 2 



et pourla secoude a; = + - l^ 3j; / ^— — - t/.i; = - tt v/ 2 , (194), = / - , \ . - dx,{ld5), 



'■ 2 ƒ l-\-x^-\-x-^ 4 J l'\-x--x-x^ 



o 



/ l-|-.7;^+.r' 2 J 1 — « 



•'o -^0 



/ ^~" ,, '''^ = ^-. (T- 7, N'. 19), = / —^^^--jdx. [T. 31, N'. 19). 

 J ] — x^+x' 2 / 1 — x^+.v^ 



o 1 



2G. II se peut eucore que rintégraie indéfiuie chaiige de forme, seiou que x a uue valeur 

 iuférieure ou supérieure a, une certaine limite. Alors il faut diviser la distance des limites en deux 

 partieSj doiit 1'une fiiiit a cette limite et dout l'autre y commeuce, et pour lesquelles vaut respec- 

 tivemeut la valeur qui est propre a la valeur correspondante de x. Lorsque a présent la valeur de 

 rintégraie définie ne devient pas discontinue pour la dite limite intermediaire de x, la somme 

 des deux intégrales partielles sera la valeur de rintégraie cberchée. On acquiert toujours dans ces 

 cas un terme imaginaire, puisque en général la fouction sous Ie signe d'intégration devient imagi- 

 naire d'un cuté OU d'autre de la limite. Supposons, par exeinple, que nous ayons l'iutégrale indéfinie : 



1+^' ,.. 1_... M^,.^ r J±'^l_ ,;.,._ ^T. 25, lN=. 16), 



^ 



f{x) dx =-. .p {x) , (.«<a) , = 3( (J) , {x^a); {e) 



et que nous devious calculer 1'intégrale définie : 



ƒ6 rb ra ch 

 f{x)dx, oü f<a<6, on aurait: 1 f{x)dx = j f{x)dx -j- | f{x)dx (ƒ) 



c c c 'a 



TiOrsque a présent la fonction /(a') ne devient pas discontinue pour la valeur a de .r, il faut 

 employer dans la première integrale, qui se trouve au second membre de (ƒ), la première valeur 

 H> [x) de rintégraie indéfinie (e), qui vaut entre ces limites de x : dans la seconde integrale au 

 contraire il faut faire usage de la seconde valeur %[x) dans (e), puisque celle-ci vaut seule entre 

 ces limites de x; de sorte que: 



ƒ (a) dx = ^ (a) -g (c-) + i {l)-t[a) {g) 



I 



Mais en général, lorsque la fonction ne devient pas discontinue entic les limites c et 6 de x, il 

 faudra que 1'on ait qi {a) = ^ (a) ; par conséquent : 

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