III. M''". I. N% 26 — 28. THEORIE, propriétés, formules de transformation 



ƒ 



■i 

 /(x) da-= X (^) — <p(c), (/() 



et ici l'une des fonctions jj ou qs sera imaginaire, selon que ƒ (.r) devient imaginaire entre les 

 liraites a et J ou entre c et a. [15]. 



,ƒ■. xdx oi)/ / ^<i^ 

 27. De Imtearale 1 Arcsin.x — ~- — . Soit 1 integrale indéfinie I Arcsiti. ((a;]) = 



Ici il y a une fonction (j(x) qui vaut pour x<^], et une autre xi^) qui vaut pour .r^l. Donc on a: 

 Arcsin.{{x]) — - = 1 _ O — O — ylmm. ((0)) = l—m. . . . (197) 



ƒ 



Mais lorsqu'on veut iiitégrer de O li p (oü p'^l) il faut s'adresser a la formule (g), qui nous 

 fournira : 



ƒ!' (vdx 



9 



— [l — QJ^Q^=p-r7t—{lr—\^)nix/{p'- — \)-\-y/[l)^ — \)l[pJ^^/{p^- — \)],p'^\. . (198) 



Pour r i= O on a : 



Arcsin.x '-^—^ =1, (199) 



ƒ 



1/(1 — cr^) 



ƒ 



'P xdx 



Arcsin.x ^=P+ f"«l-^(?''— 1) + l^ (p' - 1)^7^+ V^(p' — ])} , P>1 • (200) 



1/ (1 — X ) 



Ici Ton avait i/ (1) = Z (1) == Ij comme il a été dit plus haut ; on voit encore que dans les in- 

 tégrales (19S) et (200) il se trouve une partie imaginaire, et aussi que 1/(1 — x"^) sous Ie signe 

 d'intégratiou devient imaginaire depuis .r = ] jusques a x = p. 



28. Lorsque les limites sont O et co ou bien — oc et co , on peut traiter la transition des 

 inlégrales indéfinies h. des intégrales défiuies d'une maniere générale, qui en même temps nous mettra h, 

 1'abri de commettre des fautes dans les circonstances critiques, auxquelles cette transition est parfois 

 sujctte. Ecrivons la fonction ö, intégrer sous la forme d'un quotiënt de deux autres fonctions entières 

 et ratiouelles : 



fi^) =-7-:; (O 



zW 



alors en premier lieu il faut que Ie degré de la fonction ^ surpasse celui de q> (x) au moins de 

 deux unités : car soit n-\- m \e degré de (f (x) et n celui de x (x) : alors la division nous donnera 



[15] Sur cette observation voyez Heine, Journal von Crelle, Bd. 51, S. 882; ce mémoire est un com- 

 plément du travail de Puiseux, Journal de Liouville, T. 15, p. 385. 

 Pacre 220. 



