ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'". 1. N'. 28. 



DE , . 



f^x) = kx"> -\- Bx'"'— ' -\- . . . -\- C -\- — -\- — + ..., et rintégration nous donnera une valeur iniinie, 



a moius que les cocfBciens A, B,...C, U ne s'annulent, c'est-a-dire u raoius que m ue soit = — 2 tout 

 au plus; donc, si Ie degré de q>{x) est n', et celui de % (x) est n' + m',m' doit être plus grand que 2. 

 En second lieu la fonctiou ^ (*') ^^ '^oi'' W^ avoir des racines positives auprès de l'intégra- 

 tiou entre les limites O et oo, car alors Ie facteur a; — p p. e. la rendrait discoutiiiue: et par la 

 même raisou, il ne se peut pas qu'elle ait des racines négatives, lorsqu'on intègre de — oo a co, 

 Eucore suppose-t-ou qu'il u'y ait pas des racines multiples, puisque alors la décomposition a uientiouner 

 ue serait plus valable. Il s'ensuit dès-lors, que la fonctiou ;( (»•) peut se diviser dans des facteurs 

 de la forme: no'^ -\- q x -\- r'^ , et a présent, sous les conditions prccédeutes, on peut réduire suivant 

 des regies connucs la fonctiou f{:t) a nne somme de fractions partiellcs, a dénominateur de la 

 forme x'- -\- (ja,- -\- r- et h numérateur de la forme Q^ + I^» 



yw - ^ -. , , . (^) 



X- -{- <]^ -\- 'T 



OU il faut que Ton ait ,2'Q=0, afin que Ie degré du dénominateur surpasse celui du numérateur 

 au moins de deux unités, comme on a dil Ie supposer. Ou a par suite : 



Or, pour la limite 00 de a; tous les logarithmes l{x'^ -\- qx -\- r'^y deviennent = Z cc : on 

 pourra donc Ie mettre hors du signe de soramation, comme étant toujours de la même valeur; 

 inais il reste alors comme facteur JS* Q, qui est zéro d'après la suppositiou ; donc Ie terme s'éva- 



iiouit pour la limite x de jc. Encore pour cette même limite l'Ardg. devient Arctg. cc = - . 



Donc nous trouvons pour l'intégrale entre O et 00 : 



]■ ' ' \nr^-iq')h •^W(r'—\q'] 



Lorsqu'on veut intégrer de — 00 a + co, Ie logarithme devient égal pour ces deux limites: 

 donc la sommation correspondante s'évanouit : on aurait pu considérer que ce terme s'évauouit de 

 même pour la limite inférieure — co de a; tout comme pour la limite supérieure + '^ t^^ •^• 



'T . . ■^ 



Quant a V Arctg. dans la seconde sommation, il devient -{-- pour la limite -}- =^ de r, et — - 



pour la limite inférieure — x ; donc la diflerence en est n et l'on a: 

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