III. yV\ i. N\ 28/29. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



ƒ 



/ Lv) dx = n ^ — (n) 



Toutefois il faut observer que les formules (ot) et {n) ne valent que sous les conditions énoncées 

 plus haut. 



7. Appliquons tout ceci a un exemple, et soit /(«) = r, 



donc (i{x) = x°; 'i[x) = !-{-**• Alors on a la conditiou a <C^h — 1. La fouctiou y{x) n'a pas 

 des racines réelles entre O et oo, et les facteurs en sont compris dans 1'expression .-z; — iV — 1 = 



, 2«+l . 



X — e , oü l'on doit preudre n égal a O, ], 2,... jusques a |è— 1 ou a | (ö — 1), selon 



que h est pair ou impair. Or, on sait qu'après la réduction de la fraction ƒ («) en fractious partielles, 

 qui toutes ont les divers facteurs de jj {x) pour déiiominateur, — dans notre cas, oü il u'y a pas des 

 racines égales, — Ie uumérateur, correspondant a une ferme x — c du déjiomina'eur, se trouve être 



<p(c) a;" ) 1,1 1 , , . 



-—— = •; — -, — -\ =-^a— «+U =-ca— *+i et que par consequent une telle fraction par- 

 X'(c) 6a'*-iJ^.^<. h )^^^ h ' ^ ^ 



tielle devient ici — , ou c = c , n = O, 1, . . . Or les deux fractions, oü les puis- 



h X — c 



sances de e ue different que de signe, et oü donc les dénominateurs sont des fonctions imaginaires 



coujuguées, c'est-a-dire les fractions 



i(.y'r'",i G-"-"r"' 



X — e X — e 



peuvent être ajoutées; alors Timaginaire disparait et, eu égard a la formule identique e=' 4" ^~'' = 

 2 Cos. s, on trouve pour leur somme : 



x^ — 2x Cos. { ~^~ 'n\-\-l 



A présent on peut faire usage de la formule (m), oü Ton a : 



2^ f(-2n4-l)(a+l) ) 2 hZu + l \ /2n4-l \ 



Q = --Cos. {- ^ n^,n^+-Cos.\^^^an\q=.-ZCos.[^~^ nj , r ■= + 1. 



On a douc;r = n = 0, et ^Q/r^=:0. Ensuite l^ {r''—\q'')= Sin.[~^^-n\, Ti — ^qQ = 



Pacre 222. 



