ET METHODES D'ÈVALUATIOIN DES IINTÈGRALES DÉFINIES. III. W\ 1. N'. 29. 



I 1+.. -°+^ 1 1^-— r-")=6T^^^-~"-iH — b — 1- 



o 



OU la sommation doit s'étendre de n = O a ?j^ ^6 — ], ou u 7i = ^(6 — 1), selou que b est 



«+ 1 

 pair OU impair. Soit cette valeur superieure de n eii général s et tt .-= //, on aura: 



27rj T+a^ 



■'-^^ = i'(6-2«— 1)5/«. [(2« + l)y) = hÉSin. ((2« + l)^) — i" (2« + l)Sm. {(2«+ 1)?/) . 



"T*' o O O 



Or, on sait que: ^&h. ((2n-|- 1)?/) = ''^ ^ ■^-' , 



o 3 OMl.!/ 



o 2 Sin. - y 



On a donc apiès une réduction facile: 



^L r.f!^ _ ^ , (2 3— 64-2)5i«.y.gQ5.{(g+l)2j/} — Cog.;/.>Sw.{(s+l)2y} 

 271 / 1 + a;'' ~ SSm.y"*" 2 Sin.^ y •••W 



o 



6 (2g-^- + l'>Sin.?/.CQ^.V.(7a4;23+l)y}— (23— J;+])&ft.-^.g<"a.[,23+l';/)->S»t.{(2a+l)y) 



""2-Sin.//'^ 2Sm.^y ''^'' 



On a besoin de ces deux transforraations (o) et (p), de Tune dans Ie cas ou b est pair, de l'autre dans 



Ie cas de b impair. Car soit b pair = 2c?, ona3=^& — l^rf — 1 et 2; — b -{- 2 =0 ; encore 



. (l2d~Z + 2)(a-{-l) ] 

 Sin. {{z-\- 1)2 n] = Sin.V ~^ — — '-n} = Si7i. {{a + l) n] = 0; donc les deux ter- 



mes du sec iid r.umérateur de (o) sout égaux ti zéro et il nous reste : 

 b^ /•* «« d.v b _ 



2nJ l-\-x''~ 2Sin.y' •^''"''' 



[16] On a: *) 



.L „ , , l— Cos. {(s+ 1)2 y] ' , , Sin.((z+l)2y] 



:ESin. [{2n + l)y] = /j. ' ^^ , ^ Cos. {{2n+^)y] = \Z ^ ^^ ~ 



o 2Sin.y q 2Sin.y 



cc que Ton vérifle aisément de la maniere suivante : développez les sommations, multipliez par 3 Sin, y -. 

 changez cliaque produit de deux Sinus dans une difierence de Cosinus et Ie produit d'un Sinus par un Cosimis 

 dans une ditférence de Sinus: tout cola suivant les régies bien connues de la goniomctrie: vous trouvercz 

 des formules identiqucs. A présent difTérentiez la seconde formule ;i l'égard de y et vous trouverez la 

 seconde des formules dans Ie texte. 



*) Vcyez p. c. Schlöjiilcu, Beitriigc zur Theorie bestimmter Integrale. S. 96. 

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WIS- EN NATUtllK. VEEH. DER KOKIXKL. AKADEIIIE. DEEL VIII. 



