in. M''*. 1. N°. 29_, 50, THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



Lorsque au contraire h ai iuipair =2d — 1, ou a s^ \(b — \) = d — 1, 2z — h-{-\ =0, 



o- f -, • ((2c^— 2 +!)(« + 1) 1 ^. f, 



iiin. |(2 s 4" 1 ) y j = Sin. \ n) = Sin. |(a -(- 1) ^} = O, de sorte que dans Ie 



dernier numérateur de (p) les trois termes s'évauouisseut séparément et qu'on a : 

 271 j l+a-' ~ %Sin.y' 



1 pau- 



Ia inême que pour b pair. Donc toujours, en prenant a — 1 pour a : 



V'^—^dx TC , „ ,^ 



, a<6; (T. 20, N=. 1). 



ƒ 



1+"' bSin.^ 

 b 



Le raisonnetnent précédeut se foude eutièrement sur la supposition que a et è soient entiers : 

 uéanmoins il est facile a présent d'étendre la formule au cas ou cette coudition n'a plus lieu. 

 Supposons x'^ = IJ, OU a : m<^~i dx = dy, avec O et cc pour limites de y; prenons en outre a=^pc, 

 b = qc, et nous trouvons : 



^xP^^dx en TC 



> v<q- 



I 



q c Sm. — o om. — 

 9 1 



Cette formule, identique avec la précédente, vaut a, présent pour toute valeur, eutière, frac- 

 tionnaire et même irrationnelle de p et q, puisque la valeur de c est tont-a-fait arbitraire, et peut 

 être irrationnelle [17]. 



Exeraces. \ — = — ,/;<]; (T.18,N\2), / -=— L ,a<Z>;.(20]) 



f \ -\- X bin.pit f p-\-qx'' op\q an 



O o Sin. — 



o 



30. C'est ici le lieu de meutiomier une observation de Poisson [18] regardant le cas, oü la 



valeur d'uue integrale définie ne dépend que des racines d'uue certaine équation et du nombre n. 



Ceci a lieu lorsque la fonction a intégrer entre les limites O et co est une fraction ratiounelle, 



dont le dénomiiiateur ne contient que des puissances paires de x: dès-lors aussi dans le numérateur 



on ne rencontrera que des puissances paires de x, parce que autrement la supposition a;^ = ?/ rédui- 



rait le degré du dénominateur et du numérateur h, la moitié. Soient auprès d'une telle integrale 



\{x^) 



[ 



d.v 



— P^ > — Q'i — '"'.••• les raciiics de l'équation •/[x-)=^Q, uïl p, q, r,... pcuvent être réels ou 



[17] Ou trouvera d'autres déductions de cette integrale Métli. 22, N^ 12, Méth. 27, N°. 3 et 

 Mcth. 38, N^ 4. 



[1#J PoissON, Jouvnal de Liouville, T. 2, p. 224, 

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