ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'^'. 1 . N'. 50, 51. 



imagiiiaires, .ilors on peut réduire cette integrale a la sonime cle plusiturs iutégrales particlles, ayant 

 pour numérateurs les diviseurs correspondants de '/.{j:''-); c'est-;\-dire : 



I ^^—^ dx = K \ + B I + C / 



+ r^ 



+ 



OU A, B, C, ... sont les coeflicients, produits par la réduction en fractioiis partielles, et dépendant 

 de p, q, r,... et des coefficiens de la fonction rp{x-). Par rintermédiaire de Fintcgrale au N". 'S 

 on trouve : 



j %{^ } 2 \p q r 



o 



Suivant les raisonnements précédents cette fonction doit étre une fonction symétrique de p, (/, r, ... 

 lorsqu'on Faura réduite li une seule fractiou: donc elle peut être cousidérée et calculée comme 

 une fonction de y=p-\-q-\-'r-\-... Par conséquent la combinaison des fonctions symétriques 

 ^p,2!pq,... avec les coefficiens de la fonction 3((^^) donnera lieu è une autre équatiou 

 ƒ (?/) = 0. Puisque a présent y regoit d'autres valeurs, lorsqu'on prend p, ou q, ou r,... négatif, 

 et que d'un autre cóté les relations entre les coeflicients de X (*'")» l^i '^^ dépendent que de 

 p"^, q^, r'^,... ue seront point afi'ectces par un tel changement, et que par suite l'équation /(y) = O 

 reste la même, — il s'ensuit naturellement, que ces diverses valeurs de y sont les racines de cette 

 dernière équation. Et puisque r/==p-\-q-{-r-^... est la plus grande de ces racines, c'cst elle 

 qu'il faut employer auprès du calcul de notre integrale. Remarquons encore que/ (y) sera en général 

 d'uu degré plus élevé que y (r). 



31. Comme application soit yX-^^) = •i''^ -\-kx* -{-lx- -\-m ={x- -\-p'^)(x- -\-q'^)(x- -^r"^}. Alors : 



r ''■" ' r d. i r d.v 1 f 



f Z>') ir' -'f lip' -r^)) x^+p'-(q^-p'-){q^-r^)j x'^+q'^'^ {r''—p'-){r2-q^-;J 



dx 



«•'+r- 



1 1 1 1^ /» + ? + '■ 



\p(p-—q-){p'—r') q(q-—p''){q^—r^) r{r-—p^){r^—q'))2 pqr{p-\-q)(p+r){q-\-r) 2' 

 et de même: 



ƒ'" x^ dx 1 71 ^'^ x^ dx PI -\- 9^ ■{- '>'P 



Z (•<••') iP + 9){P + ' 



1 71 ['" x^ dx PI -\- 1'"' -\' '''P ^ 



+ r)(.; + ,-)2' j ^)'^ {p + q){p + r){q + r)l' 



toutes fonctions symétriques de p, q et r, comme il a été annoncé. Pour avoir l'équation en y, 

 supposous y ^ p -\- q -\- r. En outre nous savons que p^-j-j^-f-r^ ==/;, p^5''-|-p^ >"-4-?^ '"^ = '» 

 p2 ^2 ,,2 ^^„j_ Éliminons entre ces quatre équations les quantités p, q, r, nous trouvons: 



4Z = 4(p5 + gr -1- pv^ _ 8p<;»-(p + 9 + r) = ((p + 5 + r)^ — (p^ + 7' + r^)) ^ — 

 — Spqr{p-\.q-{-r)^{y^~kY — Sy\^ m, 



pour Téquation, qui aura pour racines p + ? + '', (la plus grande, dont nous aurous besoin), 

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