ET METHODES Ü'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 111. M■'^ 2, O. N\ 9, \, 2. 



tout comme dans Ie N . 2 nous Ta donré Ie calcul ordinaire. Aussi pourra-t-on en général s'y 

 borner, et ne regarder cctte observation que comme une éluoidation du procédé ordinaire. [23]. 



^ 3. METHODE 3. TAR LES FORMULES DE EiiDUCTION D'lNTliGRALES INDEFINIES. 



1. Il arrivc souvent, qu'a l'aide de Tintégration par parties ou de quelque autre maniere, 

 on parvient a réduire quelque integrale iiidéfiuie a uu terme déju intégré et a une autre integrale, 

 qui est plus simple pour avoir par exemple uu numérateur ou un dénominateur d'un moindre degré : 

 c'est sur ce raisounement que reposeiit Tarrangemeut et Ie calcul des tables ordinaires d'intégrales 

 indéfinies: il peut nous venir eu aide aussi pour les iutégrales définies. Car lorsqu'on intègre une 

 tellc formule de réduction entre deux limites définies, il se peut en premier lieu que Ie terme intégré 

 s'évanouisse entre ces limites: alors la répétition du même procédé donnera lieu a un produit de 

 fractions, dont les numérateurs et les déuomiuateurs seront en général des facteurs cquidiflerents ; 

 par conséquent ce produit peut être exprimé par des facultés numériques, ou par les fonotions Gamma. 

 Mais en second lieu il peut arriver aussi que Ie terme intégré ne s'évanouisse pas entre les limites 

 de rintégration, mais se réduise a une valeur déterminée : alors on obtieiidra, par la réj^étition du 

 même procédé, une série, auprcs des termes de laquelle les facultés numériques joueront un rólc 

 principal. Enfin il se, peut encore, que Ie même terme intégré devienne indéterminé ou mêinc 

 iiifini entre les limites de l'intégratiou: dès-lors cette methode ne sert plus a rien. Dans tous les 

 cas, il faut absolumeiit examiner si Ic terme intégré devient discontinu entre les limites de 

 rintégration : car dcs-lors ou doit y ajouter une correction corrcspondante qui sera représentée par 

 une integrale singuliere, d'après ce qui a été observé dans la Première Partie. 



2. Fondions rationnelles algchrique.''. On a : 



donc, — puisque la fouction difi'érentiée s'évanouit pour .e == O et pour x = 1 — pour un aentier: 



■(I o o 



„a In 1 Qa ] n/l 



= -^ = -—, (T. 1, N\ 20), 



d'après la valeur de l'intégralc, Métli. 1, N'. 2. [21]. 



[23] Suivant la vègle de Plana cette integrale aurait une valeur imaginaire: et ce résultat, fautif en 

 soi-même, démontre en même tcmps que la règle mentionnée ne saurait valoir. 



[2-J-] On aurait aussi: 



d.xl>{\ — x<l)'^ = (1 — xl^-'^dx [pxP-'^ — {p-\qa)xP+i—^); 

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