!II. W\ o. N'. 2. THEORIE. PROPfilÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORJIATION, 



^ txP-'^da: xP f — adx xP (xp—'^dx f xP-^ dx 



Oaa-.pl = — IxP = + a I — a I 



^fl-h-r)" (l+.r)« / (l+.z-)«+l (l+a-)°^ ]{i+^)^ /(l+.r)''+l' 



, f xP—^dx a-P a — » faP—^dx 



Jouc: / = + ^ ƒ . 



/(l+.r)«+i a(l+^)«^ a J {l+x}" 



Or, pour les limites O et x , Ie terme intégré s'évanouit, pourvu que 0<^/)<^a; car pour 



/J<0 OU aurait \xP] = oc ,et pour » ^> a ou aurait I 1 == cc; donc : 



/•°° xP-^dx a~p f'° xP-^dx [a—pYl-'^r'^xP-'^dx (1— ;9)«/i n 



o 



après la substitutiou de la deruière integrale, que Ton trouvera Mélh. 23, N'. 12; ou, comDie 



lésultat identique avec celui du N". 2, mais disposé autrement. L'intégratiou entre les limites O et 1 fait 

 disparaïtre la fonction differenties au premier membre; donc: 



p + qa p-\-qa-{-q 2,-\.qa-{-2q 



I xP~t (l_.ï?)a-i dx = ^±i? I ari"+g-i [\—xiY~^dx 



P P+9 P+^9 



X ƒ ^;'+»?— 1 (1 — *•?)«-' d.v. 



De cette formule de rcduction Euler (*) fait rapplioatlon ingéaieuse suivante. Il remanpe qu'on a tont 

 de même : 



/"' , , , , , s-\-ga s 4- Qa4- g s 4- qa4- 2q [^ 



I x'-i {l—a ?)«-! dx ^ ^ . -~~^-^^-^ . ^XJ__l^_ï I x'^'xi-^il — xlY-idx. 



J s s+q s+2q f 



O "o 



Or, lorsqu'on fait diverger »i vers rinfiui, les deux facteurs xp+"q—'i et xs+nq—J deviendront sensiblement 

 egaux : donc les deux intt'grales dans les seconds membres des deus dernières équations finiront par de- . 

 venir identiquement cgales. Dans ce cas les produits de facteurs équiditférents acquerront eu même temp.s 

 \\n iiombre infini de termes, et la eomparaisou des deux équations en question donne enfin : 



fip-i (1-..)-. dx = '^^±2^ . (f±^K£±£«±?) . is±MP±S^±Mi [,U, i_,,)«-.,/., 



./ /'(«+'/«) {p+9)(s-t-9«+9) (z^ + 2?)(s + 5« + 27) J 



o o 



Pour s = y on a: 



r — 1 /■' 1 



ƒ a;?-i (1 — x?)"-! dx = I d.{l—xfY = — , (T. 1, N'. 24); donc: 



J ?« ; ?" 



o () 



a;P-i (1 _ xq)"-^ dx = ^^ ^ ^ ' . - ^^^ ^ ^ { . ^^ ^ ^ ^ - (219 



qa pia^rl) (p + ?) (a + 2) (p + 2 5) (a + 3j 



ƒ 



Pour a = - et pour 7 = 1 on trouve respcctivement T. 10, N". 1 et T. 1, N^ 11. 



(•) Euler, Institutiones Calcnli Integralis, Vol. prinium, Sect. I, Cap. 9, § 360. 

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