ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. 1VP\ o. N\ 4, 5. 



ƒ! x'^Cclv la/2 ^ /•! A-Sa+lf/^. la/l 

 j- = -— - — -' (T. 13- N\ 12), ƒ = -- 2«. (T. 12, N\ 13). 

 u "o 

 5. Fonclions circulaires dircctes. 



Ou a : I Cos." .« dx = Cos."-^ x. Sin. x — 1 Si)i. x. (a — 1) Cos."~- x. ( — S>in, x dx) = 

 == Cos.ö-i .r. Sin.x. — (a— 1) ƒ </.*; (Cos." *• — Cos."-- x), et de même : — I SiH."xdx=Sin.^—''x. Cos.x — 

 — 1 Cos. X. {a — 1 ) Sin.''—- x. Cos. .v dx ■■= Sin." — ' x. Cos. x -\- {a — ] ) j dx {Sin." x — Sin."—^ x) . 



Comme pour ar = O ou a Siti.x = O, et pour x = - au contraire Cos.x = O, les deux. 

 termes integres sannuleiit pour rintegratiou entre O et -; et Ton trouve: 



^Cos."xdx = ƒ ^ Cos.''-- X dx, j ' Sin.'' x = ƒ ' Sin."-- xdx. 



o 



Ou voit de suite que leurs formes les plus simples difl'èrent selon que a est pair ou impair; Tiu- 

 troduction de cette distinction donne, a l'aide aussi de Méth. 1, N'. 12: 



ƒ- 1"!- f- 1°/- TT c" r"^ 



-Cos.^<^xdx = -—;rdx = ---=/ ^Sin.'^"xdx, (T.53, W. 16 et 12),/ ^ Cos.^-^'+i x dx = 

 2"'- ƒ 2"'- 2 / ƒ 



o •'ü ~ " •'o •'o 



2°/2 /-f 2«,2 rj 2'P r- 2«/2 



= —tJ Cos.xdx = --, [28],(T.53, NM 7), / ^ &'w.2«+i a;(7.« = - ƒ - Sin. xdx = — . (T.53, N°. 1 3). 

 3«/2y S'J/s '- -' ^ ^7 3''j2 / 3«.2 ^ '' 



o 'o 



Pour la limite ti de iC on a encore Sin.x = Q, donc les termes intégrés s'évanouisseut et l'ou trouve: 



CTT la/2 (■![ la/2 r^ 



1 Cos.^"xdx = -^ldx= —n, (T. 78, W. 8), = ƒ Sin.^axd.r, [29], .... (230) 



[28] La supposition de Sin.x =^y, Cos.xdx = dy, avec les limites O et 1 de y, donne: 



/•l 2^/2 (2«/2)2 



ƒ (1 — a;2)« cZa; = — = -^ - '- . (T. 1, N°. 4). 



I ^ ' 30/2 12a+l/l *• ' '' 



•o 

 [29] Les deux dernières sonl déduites d'une autre maniere, Méth. 5, N". 6. 

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WIS- EN NATÜBRK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. 



