in. IV^^ 5. N'. 6. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



0. On a : — a^ l Sin. a.v. Sin.'> x d.c = a Sin.^ .v. Cos. ax — a \ Cos, ai', b Sin.^~^ x. Cos. x dx = 

 a bin.f'x. Cos.ax—bSin.ax.Sin.'>—'^x.Cos.x-\-h i Sin.ax. [{b — l)SiH.^—-x. Cos.x.Cos.x dx—Sin.'>—'^x.Sm.xdx] 



= aSin.l'x. Cos.ax~h Sin.ax.Sin.^—'^x. Cos.x—h l Si7i.ax.dx{[b—l)Sin.l' x — [b — 1) Si7i.l'--x-\-Sin.''.v] ; 



. /"„. o- / , aCos.ax. Sin.ax — b Sin.ax. Sin.''—^x. Cos. x b(b — 1) f 



douc : ƒ Stn.ax.Sin.''xd.r = — -i--^ '- J Siii. ax.Sin.''--x dx. 



J b'^—a'- ^b^'—a'-j 



De Ia même maniere on trouve: 



ƒ e. ^ , , aCos.ax.Cos.^xA-bSin.ax.Cos.^—^x.Sin.x b (b — ]) f 

 Sm. ax. Cos.'' x dx = — 4- — ^ ~ f Sin. aa . Cosfi - 2 xdx, 

 b- — a- b^ — a^ J 



( /. „. ., , — aSin.ax. Sin.ax — bCos.ax.Sin.^—^ x.Cos.x bib — 1) C 



I Cos. ax. Sm.'' x dx = -f — ^ 1 Cos. ax. Sin.''-'^ xdx, 



J o- — a' b^ — a^ J 



^^ ^ , , —aSin.ax.CosJ'x-\-bCos.ax.Cos.l>—^x.Sin.x bib — 1) /* 

 Cos. ax. Cos.'' X dx = ~- + -\ '- \ Cos. ax. Cos.''-^ xdx. 

 b^ — a^ b^ — «^ j 



/ TT 



L'integratiou entre les limites O et - fait évanouir partiellemeut les termes intégrés, puisque 



Los. - = O, maïs au contraire Sm. - = 1, donc : 

 2 3 



iici. Cl. ; , aCos.lan b(b — 1) f% 



I Sm. ax. Sm.'' X dx = + rr— \ ' Sin.ax. Sin.''-- xdx, (a) 



/ b'-—a^ ^ b^ —a^ I ^ ' 



ƒ9 ^. ^ , . — « b(b — 1) c'-K 

 ^Sm.ax.CosJ'xdx = + -\ -' ƒ ^ Sin.ax. Cos.''-'^ xdx, (b) 

 o'- — a- b- — a- 1 

 o \ 



ƒ2 ^ c- , — aSin.ian bib — 1) /"l^ „. , 

 ^Gos.ax.SmJ'xdx = — , ^- + — '- l^ Cos.ax.Sin.''-^ xdx, ie) 

 o* — a^ b^ — a^ J 

 o 'o 



h Cos. ax. Cos.l' X dx = o + y^-^ -'^ j' Cos.ax.Cos.''-^ xdx (d) 



A rexceptiou de la dernière toutes ces formules de réduction donnent lieu en général si des séries 

 assez compliquées, puisqu'il s'y trouve encore des termes hors des signes d'intégration; mais les 

 résultats deviendront beaucoup plus simples, lorsqu'on assemble ces termes: cela se peut en effet, 

 quand on pose a impair dans (a) et a pair dans (c), mais la formule (b) ne s'y prête pas. Dans 

 ces cas spéciaux on trouve a Taide de Méth. 1, W. 12, pour b pair en premier lieu: 

 Page 24.2. 



