ET METHODES D'ÉVALüATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. IVF'. 4, N°. O. 



Oiientireeiicore:f lSin.,tdx=2l=—nlZ,{T.S5Z;N'.l),ei-.hlTg.xdx=hlS{n.x—[%os.xdx==Q. 

 tt 



(T. 333, N'. ] ), Pour avoir I l Cos. x dx, il faut observer que Cos. x devient négatif de x=~n a « == tt, 

 •(. ^ 



donc: 1 \ ICos.^ xdx = 1 ^|i(7os.- .béZ^-}- / \lCos^ xdx = 2 M^ iCos.^r(7^=— 7rZ2,(T. 353,N'.n), 

 ü o n- o 



[lar les mêmes réductions que préce'dcmment pour l Sin. x. On a enfin : I ^ ^ Tg.'^ a; = 0. (T. 353, N\ 5). 



•o 

 Pour 1 1 = ƒ -1' ^ 'Sm. :» c?x on suppose x^n — y, douc : I , = / (ti — .r-) / Sin. x dx = tï i l Si?ixdx — I , , 

 'o "o o 



d'ou I,= 1 xlSin.xdx=r=-{—nl2) = n- 12. (T. 413, N\ 1). [46]. 



J 2 2 



o 



Mais de cette maniere on ne pourra déterminer l'intégrale analogue 1 x^lSin.xdx pour 



•o 



a>l, car on trouve par la substitutiou x = n — y: 1 x^lSin.xdx = j [n — x)^ ISin. x dx. 



o o 



/"ir fn rit 



Poura=2ona:l x"^ l Sin. x dx ^= 1 {n^ — 9.nx-\-x'^)lSln.xdx, d'oü O = ƒ {n^ — 2 n x) l Sin. x dx, 



'o o o 



équatiou qui doune de nouveau Tintégrale précédente. Pour a = 3 et a = 4 au contraire : 



^2T /-t f27T l-T rT 



xlSin.^xdx= jxlSin.''xdx-\- j xlShOxdx= I xlSin.'^xdx^ j {2n—x)lSin.'^ xdx 



u -ü i •'o -o 



(en y posant ,r = 3,r — ^z)- Cette dernière somme devient: 2n \ ISin.'^.vdx = — 4 7r'^Z2. Mais d'uii 



•o 



autre cute'poura;=2?/on a-. j x ISin"^ xdx = 4! j xl Sin.^2xdx=4! j xdx [U-^-lSin."^ x-{-lCos.^ x} = 



o "o "o 



_ 1 r.T ^ 



= 4 — TT- t 4 -(- 4 ( — 7i:2^2)-|-4 ƒ xlCos.'^ X dr. La combinaison de ces deux résultats nous donne : 



o 

 xlCos.'^xdx-^-l xlSin.^ xdx = — 71 12, et par suite:! co l Tang.'' xdx = 0. (T. 413, N'. 4,5.). 

 o 



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