III. M'^^ 4. N°. o, 4. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



jxHSin.xdx=l(n^—3n^x-i-3nx^—x')lSin.xdx,i'ou-.Q=l{7i^—37t''x-\--iTix'' — 2x^)lSin..vdx, 

 o 



ƒ xUSin.xdx = j {it^ — -in^ 3^ -^ 6 ti"- x- — én x^ + x^)l Sin.xdx, 



o 



d'oü; 0=1 (jt^ — 4 7i' .ï -j- Gtt^ if^ — 4:TTX^)lSiTi.xdx. 

 •o 

 Par la substitutiou des deux iutégrales trouvées poar a = O et a = 1, ces deux équations con- 

 duisent au même résultat, savoir : 



/ {-Zx^ —Z7Ti'^]lSin.xdx = 71^4 (276) 



o 

 et il ue sera pas possible de séparer les deux parties de cette integrale. 



Pour la valeur multiple générale de ISiii.x ou trouve par C. P. (5) et (6): 



r-l{{Sin.x))dx = — ~nl-l-\-rn-'i,{'H{[—Sin.x))dx = — - n / 3 -f- '—^n'' i,(T. 330, N^ 3 et 4), 



1 l{{Sm.x))dx = — 7Tl2 + 2rn''i, ƒ i ((— Szn. ar)) dx = — 7ili>-\- (Zr-\-l}7t'^ i, (T. 353, N". 3 et 4), 

 o o 



/■t 1 ft 1 3r+l 



j xl{{Si7i.x))dx = —-nHZ^i-rn^- {, I xl({— S{n.x))dx =^ —-nH-Z + --^^- n^ i.{l\^l3,W.6 d7^ 



4. Soit I == ƒ l{l — 2pCos.x-\-p-)dx; i)o\iï x = Tc—y ona: 1 = I l{l-\-2p Cos.x -\- p'^)dx; 

 o "o 



ƒ TT n 



l{V-lr2p--\-2)''—Ap''Cos^x)dx=ï l{l-\-Zp- ■^p''—%p''{l-\-Cos.Zx)]dx= 



o "o 



[T 1 /"Sf 1 (■ /-TT 



= ll{l+p^—'Zp''-Cos.2x)dx=^-\l[\^p'>—<Zp-^Cos.y)dy = -\ï l{l—2p' Cos.y-\-p*)d,j+ 

 + ƒ ^(1 — 2p' Co5.^ -)-p^)(Z^> ; d'abord on y a substitué 2x=i/ et ensuite on y a divisé 



TT 



la distance des limites en deux parties O a tt et tt a Stt : substituons encore dans la dernière 



2 71 — !/ = a-, alors elle devient egale a la précédente et Ton a : 21= I l{l — 2p^ Cos.x -\- p*)dx. 



i 



Représentons T, comme étant nécessairement une fonction quelcouque de p, par cp (p) ; cette der- 

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