ET METHODES ÜÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 4. N'. 4, 5. 



uière équation doniie la relatiou </ (p^) = ~ ?' (p) : dünc de même (f (p^) = 2 .f (p^), >( (p') = 2 if (p^) ; 

 Ie produit de n équations de ce geure doiine 9 (p-") = '2," (f lp), d'ou q< (p) = '^/l' iP' ) = f- 

 lei Ton peut faire diverger n vers 1'iufini, et il s'agit de savoir ce que devieudra alors cf (p-") ou 



Fintégrale ƒ /(l — 2 p-" Cos. x -\- p-"'^ )d.v. Lorsque p est plus petit que runité, 2^" et p- 





 convergent tous deux vers zéro et qc (p-") vers ƒ l{l)d.c = 0; par suite (jp (p) est nul. Mais quaud 



'o 



p est plus grand que l'unité, on peut écrire 1,^ (p-") = / {l{p-"'^^)-\-Hp~''^'' '— 2p--"C'os..r-f l)t/.ï} ; 



•o 



1 /w 



or, a présent c'est p— 2" gt p— 2" qui convergent vers zéro, donc aussi if (p) ^ Z n lp -{- ~ 1 l{l)dj;=9.nlp. 



'o 

 Par suite les deux expressions de I donuent : H(l ±-2pCos.x-\-p'^) d^v = 0,p2<l, = 2 7ïip,p'->l, 



•o 

 (T. 353, N'. 17 a 20), [47]. Quaud p est égal 11 l'unité, on a p^" = p, pS"-!-» = ^2^ donc 



q{p-"} == (/ (p), ou d'après l'équation obtenue (f (p) = 5^9 (p)> c'est-ii-dire nécessairement (jp (p) = 0. 



Maisparce que pourp = ], on a; l{\ -[■2pCos.x-\-p-) =/(2 + 2Cos «) == HCos.^ \x = H-{-lCos.- \x, 

 et de mème: l{\. — 2 p Cos. *• -j- p-) = l\!-\-lSin.- \x, il vient: 



ƒ (i 4 -f /Cos.'- \.r)dx = Q=^i {n + lSin.-',x}dx,d'oiil ICos.-lxdx := — 2tiI-Z= j ÏSin.- ^xdx, 

 o ü o o 



intégrales identiques avec celles, que Ton a trouvées au N". 3. 



dx 



i'i dx fy d^ 



5. Soit : 1=1 Arcsin. ((2 x — 7)) -; , = I Arcsin. {{q — 2 .r)) " 



f ,i,.-_(g _.»)■' j (q—^) 



o o 



l)ar la substitution x = q— y. Or, quel que soit Ie signe de 2x — q (et il est négatif de x = O u 

 X = {q ti positif de ic = {q a x = 9) on a toujours (C. P. form. (9)), Arcsin. {{q — 2 x)) = 

 = 2 r 71 ^ Arcsin. {2x—q) = (2 ?■ + 1) tt + Arcsin. {2x — q). On obtient par conséquent : 



C'i dx /* dx ^ 



I = 2rn \ + 1 et I = (2r+l tt / ; 7— I- 



O o 



Dans la première de ces équations I s'élimine et il reste: 



[47] On déduit ces intégrales cncore autrcmeut Méth, 21, N". 4. 

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