ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'^^ 4. N'. 5, G. 



Pour les valeurs ordinaires de VArcsin. et de VArccos. ou trouve, eu prenant r ^ O : 



1 dx 

 Arcsiii.{2.x—q)~ — =0, (2S3) 



( 

 f- 



da: 1 



rceos.{2x — q)-—~ = -— n^ (284) 



^ -h (q — xy 4.7 ^ ' 



o 



ƒ co 

 e~-^\vP~^ dx uiie integrale encore iuconnue et prenous x = (1+9)2/' 

 o 



(ou l + 5>0), alors ■ = ƒ e-O+Ü'/ ijP-'^ d?/. Multiplious de part et d'autre par 9'— ' J(/ 



o 

 et intégrons par rapport tl 7 de 9 = O ;i 5 = co (oü donc 1 + f/ > O, conformément a la sup- 



r r(p) r /•* 



position), il vient: ƒ —~—-qr—idq= j q'—^dq j e-C^+l^!/ yP-'^ d,j, ou, lorsquon chauge 



o "o o 



Tordre des intégratious dans Pintégrale doublé : 



^^Pn n~:^,^ I ^-'y^'-'^y \ €-<}!/ qr-^ dq = j e-1 yP-^ dy \ e—" ~ = 



o o 



== I e-lyV-'—'^dy f e-^^s'—^dc, 



'o b 



OU Ton a substitue' z au lieu de q y. Dans l'intégrale doublé a présent les variables sont séparées, 

 c'est-a-dire que dans la première iutegration il n'entre pas de y et que par conséquent son résultat 

 sera indépendant de y ; de plus on voit qu'elle est egale a T (r) ; encore Fintégrale par rapport a 

 y est de même r (p — r) ; donc : 



^^P'^ f (TT^ = r(p-'')r(r), [50] (a) 



[50] On peut en déduirc quelques relations d'un grand iutérèt, dont nous avons besoin daus les 

 réductions, en ce qu'elles appartienncnt a la theorie des Fonctions Gamma, qui jouent un röle eminent 

 auprès des intégrales définies. Car on trouve Méth. I, N". 29 d'une tout autre maniere: 



/"'" iB'— ' dx TC 



f l -\-x Sin.rn^ 



'o 



mais cette même integrale peut aussi se tircr de l'équation (a) au moyen de la supposition /) = 1, et alors, 

 puisque r (1) = 1, comme on Ie sait, et comme encore on Ie déduit dans Ie texte: 

 Pa?e 261. 



