III. M"*'. 4. N\ 6. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOX, 



une des formules fondamentales dans la theorie des fonctioiis r, et qui, écrite aiiisi: 

 a;»— 1 dx T{p — r}T (r) 



ƒ 



, (T. 13, N'. 12), 

 (1+^)P T(p) 



doniie 1'expression de l'intégrale Eulérienne de la première espèce dans les iutégrales Eulériennes 

 de la seconde espèce [51], Eeveuons a Féquation (a), oii la fonction T est encore considérée comme 



f 



x^—^ dx , , 



La comparaison de ces deux valeurs d'une ruême integrale défiuie ibuniit: 



T{r)T{l—T)n = --— -, (B) 



om. r n 



une des intégrales menlionées. Pour r = ^ on tronve : 



ra)r(i) = 7r, d'oü r(') = ix'^, (C) 



identique avec l'intégrale T. 140, N°. 1, dans Ie texte. Encore a-t-on Métli. '6, N"". 7, Note [36] pag. 

 246; r(a -(- q) = q"!^ F {q) (A), équation qui donne ici pour q = \, a l'aide de (C): 



r(a+J) = -i''''r(i)=^i/.r (D) 



Les formules (B), (C), (D) cxpriment ces proprictés fondamentales de la fonction Gamma que nous avons 



annoncées. 



1 „ , \—y , —dii 



[511 On la connait encore sous une autre forme. Substituons l -f a; = -, d ou x = -,(lx == — - , 



*■ ■' . y y >i^ 



alors les limites de y devienncnt 1 et O, et l'on a : * 



1 o 



OU pour p — r = q: I (l — xV-^ a-?-' dx = ~ ^' ^ ' , (T. 1, N\ 8), 



b 

 l'intégrale Eulérienne de la première espèce; elle est ordinairement exprimée par une des notations B (/j, 5) 



OU I I : ses propriétés sont intimement liées a celles des fonetions r. 



Tont comme précédemment on a encore : 



ƒ1 T(a + q)r (r) g°H r (q) F (r) 



^ r(« + ? + '0 il + r)"'^ T{q + r) 



d'après la formule A, Méth. 3, N'. 7 Note; et de la même maniere: 



^ ■" T{a + b + q-\-r) {q + r)''+'''^ r{q-{-r) 



f 



Pase 262. 



