ET METHODES D'ÉVALUATION DES LMÉGRALES DÈFINIES. III. i\^'^ 4. N\ 1 O, 1 1 . 



1 0. Mais quelquefüis on taclie d'acquérir deux équations, oii deux iutégrales défiuies se trouvciit 

 comme incoiuiues; jiar la résoJution de ces équatioiis on peut alois trouver ces iutégrales ellcs-mêmes. 



Soit I = ƒ /(l — ^)— et K = i l{l +.«)—. 



"o "ü 



/■' , <I'V 1 /■' <ix 1 



]ja somme en est I+K = / l{\ — a:-) — = ~ / ^ {^ — *') — = ~ ^; P'ii' l^^ substitution de x'^ = ij : 



J X 2J d-, 2 



u u 



/■',! +■? da: /•' L -\- x 

 d'ori I-j-2K^0. lia dilleience au contraire en est k — I = / ' =/ ' c?./.r,ou moyennant 



J i. " U/ tb IX "■ " X 



ü ü 



1+A- 1' n / 1 — 1\ l-|-.r W ["^Ixdx 



rintén-ration par partics : K — ■[ = / .lx\ — \ Lcdx\ — \=l -lx] — 2l . 



' ^ l-x jo / \l-h^ 1— .'/ l-.f Jo ƒ 1— .'■- 



o "o 



Or, Ic terme iutégré se compose des deux parties ^.«J (1 -}--'■) — Lr. 1(1 — x). Pour a- = 1, Ie premier 

 terme est 1 1 .12 == O, Ie secoud = ll.lO = O . x, indétermiiié; donc, selon les régies ordinaires : 



2/.,..i 



1(1— x) l—a; _.^■ 



= r = (lx) - = — X =2 lx = O, pour x =-- 1. Pour x = O, les deux 



(^■0-' (_;,)_.! 1— ^\ -1 '' 



.*• 

 termes sont égaux aux valcurs, qu'on obtieudrait pour l(z — \].h — l(s — ])J(2 — z) dans Ie cas de 



, . f^ Ixdx 1 



c = 1 : or, d apres ce qui précède, chaque terme s annule. On a donc : K — I = — 2 / = — ti^, 



ƒ 1 — x^ 4 



suivant Métli. 32, N". 5. La résolution de ces deux équations par rapport h K et I doune : 

 ni(l+.c)dx 1/1 \ 1 fn{l~x)dx 1/ 1 \ 1 , 



j X 3\4 / 12 j X 3\ 2 J 6 ^ 



o o 



et 5). [54]. La somme et la différence en donnent encore: 



ƒ■', d.v 1 p 1+.V dx 1 



ƒ .« 12 ƒ 1— A- *• 4 ^ ^ 



o o 



11. Soit I =: ƒ e-P'-'Cos.qxdiVjK = j e~P^Sin.qxdx. Alors 1'intégration par parties nous 

 o 'o 



iloune ; <7 T = e— ?'•*■ S>in. qA — / Sin. q x. ( — p e—P^ d.r) = O -\-pK, — qK = e—P^ Cos. q .»} — 

 (I / o 



"ü 



1 Cos.qx.[ — pe—P^d.c) = — 1 4- p I, puisque dans la première équation Ie terme intégré s'an- 



[54] Comme on déduit d'une aiitre maniere Mctli. 22, N". 3. 

 Pa^e 265. W 



