III. >P. 4. N°. l\, 12. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



uuie, tant pour ,v = O que ponr .r = :>:, et que dans la seconde il ne s'évanouit que pour 

 A' == O), tandis qu'il devient Tunité pour x = 0. La résolutiou de ces equations donne: 



1= ƒ e-7>-rCos j.i-(Zi: = — ^ — ,K=/ e-P^Sin.nxdx = — -. (T. 378, W. S et 9'. [551. 



./ P'+'l'' f p--\-1^ 



o "o 



12. SoitI(.,)^ r ,/"^''l'!! , , • Lorsque Y {p, x) + Y{p,y) = T {p) on a [56] ; 

 ƒ 1-^(1 — p oin.-.z'j 

 o 



Multipliez ces équations membrea mcmbre et intégrez entre les limites O et x de x, (donc pour ?/ entre les 

 limites- et y) ontvonwe:- d.I{y) + l[-\ = l(x) + r(p,ln)Y(p,x)-^'(p} ^.^l ,2^-,, 2 . + 



o 



1 r^ Z{1— w^<Sin.^;,) 1 1 , 



+ 9/ rin ""Tc-^-V^- ^^^'^^^ °" ^ t57]: !•(;,,. :z) =-E'(pF(p)--;(l-/.^),donc: 



2f 1/(1 — p^ üM.- X) 2 4 

 o 



/I \ 1 , , 1 , 1 f^in—p'^Sm.\v) 



i(^0+i(^)~i(^^-)=-E'(>)[F(/s..;)— -(E'(p)rtp)~-'?(i-p^-)]i>,x)--| - ;(i_p2^.,,^^j ^^-(«) 



o 

 PouriC=— j7rona:y=7r,etdeplus:I(a:)=I(— ^7r)=~I(^7r),F(p,a')=F(p, — l7i)==—'F{p,ln]=—I''{p', 



— - Z 



C ^l{l—p^Sin.^x)dx rH{l—p''Sin.^x)dx , ,,,,,• 



/ rrT^"^^ = -/ 7777 r^r^=-/(1-P'^-l'^(/'h(suivantl\tóh.l7,NM6); 



'<1 ü 



donc la formule (a) devient : 



OU I(^)-2I(» = E(p){F'(p)}^ {b) 



^dy f dx 



y (p , y) = 4y(p,;i) 4" '(1 — p'^ Sin." x) : multipliez membre a, membre et iutcgrez de .1; ^ O a 

 X = '^n (et par conséquent de y = O a y = tt); alors : I(7r) = 8I(^ n) -\- 



[55] Dcja déduites Méth. 1, N'. 9, Note. 



[56] EoBERTS, Journal de Liouville, T. 12, p. 449, N\ 2. 



[57] Verhulst, Traite élémentaire des fonctioiis elliptiqiics. Bruxelles, Haycz, 1841, (XII et -316 p. 8°.) 

 § 65, p. 114. 



[58] Veruülst, Traite élcm. des fonct. ellipt., § 66, p. 116, forin. (21). 

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