III. i\P. 4. N\ 15. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



Vx] = Cos.pTt. I lT{l-x].Cos.pna:dx+Sin.p7t. I lV{\ —3;).Sin.pTTxdx=Cos.pn.\[l—a!)+Sin.pn.K[l — x),{a) 

 ■'o •!) 



K{x)=Si7i.pn. j lT{l-x).Cos.pn.vJx—Cos.pTï. j lT{l—x).Sin pnxdx=Sin.pn.l{l—x)—Cos.pTT.K{l—x).{b) 



o o 



Pour obteuir deux autres équations entre les quatres variables I(.r), 1(1 — .r), K(.t) etK(l — x), 

 rappeloiis-nous que, d'après la relatiou B dans la Note du N\6 : iT (x)-\'lT{l — x) = l{2n)~l{2Sin.n), 



OU, d'après C. P. forin. (109), en y posant p^~l, q=2n .r, l T{x)-\-lT (] —x) = 1271+ :E ^£!l?!^, 



o " 



Multiplions cette équation par Cos.pn j dx et par Sin.pnxdx, et intégrons entre les limites O et 1 

 de A-: ƒ l r{x}. Cos. p TT X dx+ 1 iT {l — x].Cos.p7ixdx = I{x) -{-l {1 — a;)=Z27r. ƒ Cos.pnxdx-{- 



o {, 



. /■! , ^Cos.Znnx Sin.pn , £. 1 /"'r^ - 



+ ƒ Cos.pn X dx :E = '—nn-\-^~\ \Cos.{(:ln4-p)nx^4-Cos.{(^n—p)nx]^dx = 



J i 71 pil 1 2« ƒ ■- ' ^ -• 



o •'o 



Sin. pil ^ nSin.pn o. 1 1 



= i—lln— i— 2 r, 



/)7r TT 1 n 4?4^ — p'^ 



i lT{x). Sin.pnxdx -\- I IT {l — x). S{7i.p7t.Tdx=K{x) + K{\ —x) =l2n.l Sin.pnxdx + 

 " * O "o 



. Pc- , ^Cos.Znnx l — Cos.pn , <^ l f^r^ r . ^ , 



+ jSm.p7irdx2 = ^— /27r4-^— / iSiH.{(2n+p)7Tx] —Si,i.{(-Z7i—p)7Tx]]dx = 



J \ n pn i 2n I *- ^ ' i. ' ' j j 



o •'o 



_^_^Cos.pn ^^ ^ ^ 1 ï \-Cos.{{27iJ^p)n] _ \-Cos.[{27i-p)nU 



pn ~ 1 2nl (2n+p)7r (2n— p)7r J ^ ' 



1 — Cos.p TT , 1 — Cos. pn ^1 1 



= ^-- Z 2 :r — i—-p :E , 



pn n 1 H 4n^ — p' 



OU, en dénofant l2n—pÈ par P, foiiction de p, il est: 



1 n 4n^ — p^ 



Sin. p n 



lix) + Iil-x) = !—V, (e) 



pn 



1 — Cos. V n 

 K(.r) + K(l-.r) = ^P (ƒ) 



p n 



Quoique uous ayons obtenu quatre équations, elles ne nous sont d aucuu service pour Ie cas géuéral, 

 puisqu'elles forment un systèrae identique; il est aisé de s'en assurer lorsqu'on élimine I (a;) de (a) et 

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