ET METHODES DÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. lil. M''". G. N'. 1, 7). 



raTT 



2. Soit IHntégrale f l {{Sin. .r)) dw, et divisoiis la distance des limites de telle maniere, que 

 "o 

 ciiaque partie soit egale h n : j l{{Sm.x))dx= j l {{Sin. x)} d.v -^ j l{{Sin. a:}) dx + . . . 



o o ü- 



-\- I l {{Sin. ,x)) dx -\- j l {{Si7i. a)) d.v -\- . . . -\- j l({Sin.a;)) d.v. Dans toutes les iutegralcs de Ia 



•(5c— 1)t •2rT (a-l)ff 



forme I l {{Sin. x)) dx substituons *■ = 2 c n — y, dx = — dy, Sin.x = — Sin. y, avec jt et O pour les 



(20-1),: 



/•(2c+I)!r 

 limites de 1/ : dans les autres intégrales I l{{Sin.x))dx au contraire mettous x = 2 c n -\- ij, d.v = dy, 



'2cw 



C2cT fir 



Sin.x = Sin. y, avec les limites O et tt de ?/ ; nous aurous : I l{{Sin..vy)dx = j l{{ — Sin.x))dx, 



\2c-\)k o 



l {(Sin.x)) dx = ƒ l {{-\- Sin. x)} dx. Donc toutes les intégrales partielles sont rameuecs a deux 



2cT o 



autres difierentes: mais la dcrnière de ces inte'grales, celle qui va de {a — l)7t a aTr, appartiendra 

 a Tune ou a Tautre des ces intégrales défiuitives, selon que a est pair ou impair; donc il faut 

 traiter ces deux cas séparémeut, mais alors aussi on peut rendre la discussiou un peu plus 

 générale en ajoutant Ie doublé signe au sinus sous Ie logaiithme. De cette maniere il vient: 



^2an TT TT f(2a-{-l)'T rn 



l{{±Sin.x))dx =r a 1 l{{Sin.x))dx-\-a j l{{— Sin.x)) dx, I l{{-\-Sin.x))dx = (a+l) jl {{Sin.x)) dx + 

 o o 'o o 'o 



l {{— Sin. .v) d.v, I l {{— Sin. x)) dx = a j l{{Sin.x))dx + {a + l) j l{{— Sin.x)) dx. Or, 

 o o 



on trouve ces dernières intégrales Méth. 4, N"". 3 ; douc, en y prenant Ie même r, ce qui ne change 



ƒ 2a TT 

 /((± Sin.x))dx = — 2aiilZ -\- {4<r -\- 1 )an'^i, 



o 



1{{+Sin..v))dx =—{2a+l)nl-2+ [{2a-lrl)2r-\-a}n''i, Ci\ 361, N^ 2 et 3), 



(. 



^(2a+l)7t 

 1{{—Sin.a))dx = —{2 a + l) 7tl2 -\- {{H a + l)2r ^ a ■]- l}rcU (351) 

 o 



ƒ alt 

 X l {{Sin. x)) dx. lei l'on a par la même division de la distance des limites 

 o 

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