JII. W\ 6. N\ o. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



ƒ 071 ri f2K r2ci r(2c+l]rt 



xl [[Sin. x)) dx = I .vl[[Sin.x))dx-\- j xl[[Si7i.x))dx-\-...-\- j xl[[Sin.x))dx-\- f xl[[Sin.x))dx^ ... 



o 'J (2c— I)7T 2cn 

 rcnr r2ac 



-\- I xl ({Sin. x)) da: Fout x^['2,c — \)n-\-y on a dx = dy,Si7i.x =^ — Sin.y,etj xl[{Sin.a!))dx =^ 



(a— l)7r (2c— l)7r 



= ƒ {[2c—l)n + y]l[[—Sin.9j))dij=[Zc~i.]n j l [[— Sin. x)) dx' ■{- j x l {[— Sin. w)) d.r . 



o "00 



Pour X = 2c7i -\- v, on a dx =^ dy. Sin. x = Sin. y et 



^(2c+l)7r CT! TT /-TT 



xl[[Sin.x))dx = \ [ZcTc -\- y)l[{Sin.y))dy z= 2cn 1 l[[Si7i.x))dx -\- j xl({Sin. x))dx. 



2C7C -O •'o -O 



Douc h. l'aide de Métli. 4, ,N^ 3, pour ces deux intégrales générates: 



/•2c7r /-TT 4 p — 1 /"TT 



1 T l [[Sin. X)) dx = (2 c — ^) TT / l[[— Sin. x)) dx = [Ze— ^)nH -\ n j l [[Sin. x)) dx, 



(2c— IjJT "o b 



/•(2c+l)jr /-TT 



I arZ((<Sm.ü;)) c?,i' = (2c + ï)^ ƒ l[[Sin.x)) dx. 



2cir o 



Mais pour la détermination de la dernière integrale dans Ia série d'intégrales, il faut distinguer 

 entre les cas de a pair et impair: dès-lors on trouve : 



j ^l[fSin..r))dx = {-+- + -+. ..-{—Y]''I ^(iSin.a))d.c + \^^^--^... + —^j n^ i =^ 

 'o 'o 



r c. 2a +1 

 = Za'^ n f l[[Sin.x))dx -\- an^ i, 



o 



/•(2a+i)5r /l 3 5 4a+l\ /•'^ /3 7 4a— 1\ ,. 



"o "o 



1 P 2 a + 1 , . 



= _(0a^l)2jr / ?((&•«. a;))£Z.?r + -^ — an^ i: 



, Z J Z 



o 

 et enfin par l'usage des intégrales de Méth. 4, N'. 3: 



/•2a7r /•(2n+i;7r 



I a; /((&■».. ï))'^-^ = —Za'-nHZ + auU ((4r4-i;a+ i}, / x l [[Sin. x)} dx = 

 "o o 



==_. (2a + l)'7r2/2 + ^(3a+l) ((2a+l)(4 r-|-l) — 1} nH. (T. 421, N^ 4 et 5.) [77]. 



[77] Ces intégrales sont dues a Clausen, Journal von Crelle, Bd. 7, S. 309; mais il les déduit d'une 

 autre maniere (Methode 32), en développant ISin.x dans une série. 

 Paare 282. 



