ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M*"'. 6. N°. 5^ G, 



les substitutions x = an — tj (dx == — di/, Sm. .r = — Cos.an.Sin.y, }, n et O liinites de y) et 

 X = an-{- i/{d.v = dl/, Sin.x == -^-Cos.an. Sin.ij, O et | tt limites de y); nous trouvons : 



TT TT T 1t 



f" da; f\ dx [% dx f- dx p dx fP dx 



IShux — = lbin.x — -f 1 Sin x — I Sin.x- — I Sin.x +..■+ I SinJIrkn-i-x] — 



/ a,- / X I n—x I n + x J 2n—x f '' ^ ' 'kn + x' 



"(1 b o -o 



Dans la dernière integrale, — qui est ici une integrale de correction, lorsqu'on passé h. la Jimite 

 co de k, — ie facteur Sin.{'^kn -\- a.) reste toujours fini entre les limites — 1 et 4-1- Tautre 



1 . , 



facteur j-y — — — au contraire sannule pour la limite co de k: douc on peut omettre cette correc- 

 tion. Comme en outre toutes les intégrales ont en commun les limites et Ie facteur Sin. x on a 



TT 



(C. P. form. (71)). f Sin.x— = ('Sin.xdx {-+ - ^ _ — i— _ 1 , ) _ 



ƒ X J [x n — ;r n -\' X %n — x \ 



'o o 



rr 



n. /"i« 1 



= ƒ Sin.xdx.Coscc.x ^ 1 dx = -n. (T. 194, N'. 1). [79]. 



"o "o 



6. Il arrive fre'quemment que la distauce des limites O et w peut être divisée avec avantage en 



/"" cix /■' dx f^ dx 

 deux parties de O u I et de ] u x . Ainsi : l lx = / ^^ _|_ / //p . Po^ïnne; 



o i { 



1 dy 



dans la dernière a; = - , c/a- = — — avec 1 et O comme limites de w, alors : 

 U U' ^ 



^dx /■', dx 1 



Ix' ; = / lx- ^ = — -n"- (T. 187, N=. 3) suivant Méth. 32, W. 5. Donc aussi 

 1 — X- \ \ — X- 8 



I o 



^'^ dx 1 

 lx- = 7r^ (T. 180, W. 11). 

 o 



De la même maniere ƒ [IxY ^ = j [l +(—])«] (/.«)<»— ^ou, puisque ici il faut 



I) o 



faire distinction entre a pair et impair, i\ l'aide de Métb. 22, N°. 3 : 



pl^y..-,. _|L_ = o, p/.)-^ = ^■l-°/'|(,J;,'}L^..(T- 180, N'. 3, 4.), [80]. 



[79] Déduite autrement Méth. 17, N^ 3, Me'th. 21, N°. 3 et Méth. 34, N'. 1. 

 [80] La substitution de x = e!) donne: 



ƒ == O, . . . (367), / = 2 . 12«/1 S ^ ; , . . (368) 



j e^J^c-^ e^+e-^ o (2 « + l)2«+i ^ • 



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