ET METHODES D'ÉVALUATIOIV DES INTÉGRALES DÉFINIES. 111. M'''. 7. N^ 8, 9. 



Mais cctte substitution suj)])ose ?/ <^ ], puisqne autremeiit 1/(1 — y-) deviendrait imaginaire: pour?/ = ]. 



.,.,■■ " . , , , n da) 1^(1+ x'^) rdxv^a+x*) 

 011 a A'=J, et 11 faut diviser iiotrc mten-rale en deux autres ƒ \- 1 . 



"o 1 



0'cst pour la dernièie de ces iutégraics que vaut Ia substitution meiitioniice, oil encore les limites de y sent 



. „ „ , . IV , /"" — «'<iy ■■Kl/2 »/- — 1 ri d)i 

 respectivemcnt 1 et ü; elledevieiit des-lors: 1 ■ =^ / — '■ — . 



1 'o 

 Pour Ia i)reniicre il faut ijrciidre au coutiaire -t = , d'oü d.v = —— . 



\^x- =a;v/{^(ï/-+l)},l— .e^- =.rr{2(j/-^-l)}, 1— ^' = 2-ï-l/('y' — l),l+**=2iï-»/-. H 

 résultc des valeurs de 1 4-.«^, 1 — .r", qu'u la valeur zéro de i; .correspond une valeur cc de y, 

 tandis que pour x = 1 on trouve encore ?/ = 1 : douc notre première integrale devient : 



{^ —^ü<^y 1 1 r y^dy i n ds , i 



I ; — xy \/ ü ; = I = — I , lorsnu on y suppose » = - . 



o-. 1 o 



Comme par conséquent ces intégrales i)artielles sont égales, mais de sigiies contraives, on trouve: 

 'Art/(1 +«*) 



0. [90] (;3S8) 



r 



/ 1 — «» 



^^ .v!'-^d.>! . l — V^y g — r/y 



■. n .TP-^d.i! 1 — l/y ?' 



9. Exeraccs. Dans / soit x = -, 1 -f-a; = , dx = 



; (i + '^f i + v/y 1 + i/y (i + v/^)V:/ 



o 



,. . , , /■' a'P-ifZj; 1 fi 1 



avec 1 et O comme limites de ?/; alors 1 = — / (1 — ?/ )P— ' «— i c?» = — 



"^ j (1 -X-xfP 22/' j ^ •'^ -^ ■^22, 



o 



r (p) t/TT 

 2/'r(p+4)' 



ü o 



(T. 4, N'', 3). [91]. 



(l ^^'^ + c 1 d.v 



Jjorsquc dans / 11 — — ; ; — -1 — on prend ax- -}- c = ?/ , 



o 

 Zaxdx = dijy avec les limites c et ao de y, on trouve: 



[90] Voycz sur la première substitution de co N'. : Euleu Instit, Calc. Intcgr. Vol. IV. Suppl. I. 

 § 57 — 61. Il s'étonne lui-mciue de eet artitice « a scopo prorsus aliena visa" : mais il lui échappe, que eet artifice 



se confond avec la « methodus prorsus plauior" des § 63, 03, puisqu'eües donncnt toutes les deux : ;; — =^ 2y-. 



[91] Cardans l'iutégrale T. 1, N". 8, (Métli. 4, N'. 6, Nole) preiuz q = .!, alors, puisqucr(J) == I/t, ona: 



/ ' d.e r (r) 



ƒ (1 — a)'-i = --^'— v/TT (;iS9) 



o 

 rage 295. 38 



WIS- EX NATUUllK. VERH. DEll KONIXKL. AKADEMIE. DEEL A'^III. 



