ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl. M'"'. 7. N'. il, 12. 



= / r = - ƒ -- — - = — , (T. 38, N=. S), suivant 



eP^-\-e-P^ J px ,^ p J 1 -\- .T^ ip 



Méth. 1, N'. 3. 



Lorsque p est imaginaire cle la forme p -\- qi, on peut agir comme suit. La substitution 

 /•^ dx r e^P+l'l^dx 1 /•■'=« d,i 



/ c(P+7'>- + e-0'+?0^ J l -\. eiP+i')-^ P + qij 1+2/ 



"o o x=Q 



1 /•^=« ] 00 



/ d.Ardg.ij = {Arclfj.[c(.P+'i>>)\ 



]-qi J p + qi ^ o 



+ 



'x=0 



1 + 2 e;"- Sin. q.v + e-P^ 



Or, a l'aide de C. P. 21. et 51, Arctn.{e(P+<!'''^) =rn -\- Ardrj.y -{- \il- -^-^ — ^— T". 



■^ ^ ^ 1 ^ l _ 2, eP=^ Sm. qx + e-P': 



oi\ y = ^ [— *l_i -J ^ — ! ^. Pour les limites O et co de .r, YArctg. 



2 Cos. qx 



devient — et -, et Ic logavithmc s'aimule dans les deux cas; doiic ATClg.[e'P+1'-:^)'^ = rn 

 4 3 o 



n I n \ n Z"* d.v In 

 ■A \-0 — [rn-\ l-0=-et ƒ —, ——7 = . - (390) 



o 



1 f" d.v f'" d.i; 



= ~\ fSül) = I ■ • . (392) 



2j Cos.[{q~pi)x) ■ '' j {cP^ -{-e-P^)Cos.qx-{-(eP^ — e-P^){Siit.qx 



par Ie calcul des exponentielles imaginaires. 



ƒ" e-P^ dx dij 

 substituez e—P^ = y, — px = ly, — pdx = — , alors 

 q±x ■ y 

 o 



'e-P^dx /-' dy n drj _ pd.ye^P<l [^^^"'dz 



; = ƒ — = / -^ = qz e±Pl ƒ —^ — = =F e±Pi I — par la sub- 



J q±x J pqzply j z^l.ye=f^P'l J lye-VPV J U 



000 o ' o 



stitution ye-^Pl = ;; mais cette deniièrc integrale est par définition li. {u^P'i), donc: 



['"e-P'^dx r'^e-P^dx ^ ,. . 



/ = — cP'ill.{c-Pi), I = e-Plli{ePl). (T. 129, N". 3, 9). Leur combuiaisou 



/ q-\rx ' j q—x 



par voie d'addition et de soustraction donne encore: 



^'"e-P^dx 1 , , C^e-P'^xdx l , ,. , ,. , ,. 

 = — (c-r? /(". [ePi) — cP'1 li. (c-P7)] , / = - [e-Pi li. [ePï) + eP? li. (e-P?)} • 

 q- — x"^ ^q J q^ — •'''■^ ^ 



o o 

 {T. 130, N°. 10, 12). 



Pa^e 297, 38* 



