UI. M^\ 7. N\ 22, 25. theorie, propriétés, formules de transformation, 



Tan ff.. V = ranff.,j.i^ ^, d'oü p- Cos.'- x = ~ 7——, - ,, ^ , . 9" Si".* x = 



== ; ; ; — — — ^ , p- 005. -.K + <? ï^m. X = , 



[^—<l')^r{^-V^)Tang:-xi^ ^^ (l - q^-) -. {p^ - g2)Sinr- y ' 



Cos.^xdy 1— p2 Jyi/-(1— p2)(l — 7^) . n 



«■'' = "7; ;; 1/ :; r = : r ; les limites de w sont O et — ,et Ton trouve: 



Cos.^y \—q' (i_52)_^p2_52)5i„.2y' •> 2' 



1— p^ /-i (Z.Ï 1 



(1-9^-)/ 1. 



^ ^ ' J I — — bm.^ X \^ {\ — bin.^ x\ 



P'{i-qn l i~r i 



Atiu que cette dernière formc raste réelle, il faut que -z — <C 1, p'^ — 9'' <C 1 — Q', P' <1 J, 



et aussi, a cause du facteur 1/(1 — 9^), que 9^-<_l; on a encore p^ — 'i^^O, p^^^-, 

 donc O <;^ j^ <^jt)^ <^ 1. Jlais a présent Fintégrale est une fonction elliptique, spécialement de la 



^ T l — p- l p'^—q'' p'— 7'\ , 



troisieme espece: I = — — n — -~„ iV^'^ T > ''ouc par les transforma- 



p^\^{\—q-) \ p^l—q^) i—q^l 



tions ordinaires [100]: 



I '-VT, ^— TT-T l-^ (1— P' Cosr- X—n^ Sin.-' x) = — +F' (l^^^ v I f 



j p^Cos.-'-x-\-q-^Si,i.'-x ^ ' ' ^pq \ 1—9/1 



p^l^{l-g^-) 

 pg \ \—gi pj) pq \ 1_^- pj ^ 1^ \-q. j \ l-.q. ;j 



1 , . 1 — p- 



23. La substitulion TaiM.x.Taiin.ii =^ — donne: 1 — p- Sin.'' x = , 



•^ -^ •' \y[l—p^) l—p'Sin.^y 



Cos'' X — dy 1 — dijl^ll — »^) , dx — dii 



dx = = , d OU ■ 



l^{l—p^) Cos.-'y Tang.^y 1—p^Sin.^y ' l^ {l—p'' Sin.^ x) l^ {l—p'' Sin.'y)' 



tandis qu'aux limites O et - de x correspondent les limites -- et O de y. Elle donne lieu aux 

 formules de transformation suivantcs : 



b ^ Sin. et. Cos. op , , t 



[100] A 1'nide de la formule: — f n' (— 1 -\- b'' Sin.-^ q ,c) — Y {c)] =- + 



1/(1 — b'' Sin.'' qt) ^ 2 



-j-F'(c).E(t,r/) — E\c).F (6, (f.) — F'(c).E(i,(jp)'; voycz Veehulst, Traite élém. desForictions elliptiques, p. 

 »2 — „2 j — 2 „2 



103. lei il est c- = ' — , b'' = f—, Sin.'' q< = — . 



1 — 9- 1 — q- p^ 



IVe 308. 



