ET METHODES D'ÉVALÜATlüN DES INTÉGRALES DEFINIES. III. .W". 7. N'. 28. 



(-'' lp— Cos. {j;—a).\/(p- — ])}'■ . . ^ 



+ f — ;^ -:; — ; • dj;. Prenons dans la Jeniière inteu;rale .r = 2 n — »/, 



II 

 Cos.x = Cos.y, Cos.{.v — «) = Cos.{ij-\-a), avec les limitcs n et O pour i/; doiic: 



1=1 ' -—-'■- --,—," dx. La substitution 



(I 



^ ... , ^ 1 A. 'jCos.u-\-i/[g'^ — 1) Sin. II 



(I — Coi<.x.\/ \q- — \)=—~— doiiiicra: Cos..r= ,Sin.x=- ' , 



q-\-Cos.y.\/{q'~\) q+Cosij.\/['i-' — l) q+Cos.ij.\/[q'' — \) 



CoH.xdy qCos.a.Cos t/± Sin.a.Sin.y-\-Cos.a.\/(q'^ — 1) 



Los.xdx = ;; , Cos.l.r zii «j =^ — — '- '■ . 



q + Cos.yy{q''--\) ,j ^ Cos.y .y' [q'^ ~ \) 



Les valeurs O et tt de .r doiiiieiit Cos.y = J, ?/ = O et Cos ^/ = — ], ?/ = tt. Par eoiiséqueut : 



l==\i,pq—Cos.«.\,'[p-' — \){q-'-—\) + {ïY{q"- — l)-r,Cos.Ky(p'--\^^^ 



'o 

 + [pq— Cos (t.\/ (/' - — 1 ) (v ' — 1 ) i [/'!/■ (? " — 1 )— 'y Co.'' u\/ [p - — 11] Cos..v+Sm.a:Sin.a.y'{p "-!)}'] '^'^'• 

 Litroduisoiis les auxiliaires l:=pq — Co!'.a.\/{p'^ — 1 )(/-/- — 1), lCos.f—py/(q^ — ]} — qCos.u.[/ {p- — 1), 

 ISiu.'i =■ Sin.a.[/ [p- — 1), alors : /- = k' — ), et apiès rélimin.ition de / i'iiitégrale devieiit 



1= ƒ [{k-\-Cos.{x + <f).[,/ik- — l)]'-+ {k-\-Cos.{x—^:).\/{k-~-l)]^]d.v. Mais elle peut cncore 



■(1 

 êlre siinplifiee de beaucoup, car dans Ie premier terme on peut écn're évidemment / = ƒ ~" ƒ 



o — y _.y 



et dans Ie second I = ƒ -|- ƒ ; de sorte que I = ƒ [k -\- Cos. (x -\- ()).\,'' {k' — l)]'- da; — 



'o o 'f •— -/ 



— ƒ {/^ + Cos(.i: + q).y{k^-[)]r,U-.^ r [k-\-Cos.{.c-q).y(k''-1)]'dx + 

 — ? "o 



\k-i-Cos.{.v — ti).\(k'' — l}]''d.t: Dans ces quatres intégiales ;\ présent ellectuons les substitutions 



ƒ 



respectives suivantes : a- -\- i^ = y, dx = dy, avec O et tt + ip comme limites de y; .r+if — — J/, 

 d^ = — dy, avec O et — (p comme limites de y\ .r — ijp = y, d;r = dy, avec — (f ut O comme 

 limites de y; .v — (j = 2 tt — y, d.v = — dy, avec 2 7r et rt + cp comme limites de y. Ainsi. les 

 fouctions a intégrer devieiment toujours {/; + 6'os y. i' (A- —!)}'•; pour les deux inte'grales de milieu 

 on a les limites O et — .jp, — cp et O, par conséquent elles se détruiseut: pour les deux intégrales 

 extrêmes au contraire ou a les limites O et ^-^-(f., x+q.' et Zn, par suite leur somme est une integrale 



qui va de O a 2.. On a donc: T = f' {l:^Cos^aly/(p^ l)}rd. ^ i%^Cos...yyii;-l)yd.r, 



o "o 



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