ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M'*'' 9, N\ 16, 17. 



Eiicorc: \ Sin.px.Cos.qx — =- /&'«. [(p-|-(/).(;} --f--/ 5tH.|(p — (/),«} — = - ƒ Sin.^{p-\-(i)x^ — — 



o 



1 /"". dx . ^ , ^ , ^ /■*. dx n 



/ Sin.{{q — f) x] — . Cette integrale a cte trouvee Métli. 6, W. 5, ƒ Sin. rx — = — : muis alors on 



•Ij X J X Z 



O o 



a supposé r positit'; daus la seconde des intégrales partielles précédentes, il faut douc prendie la formule a 

 iSen. {(p — 9)*) üu celle a Sin.[(ij — pj.i;}, suivant que p est plus grand ou plus petit que q, afin 

 que Ie coëfficiënt de x sous Ie sigue Sinus reste constamment positif. Dans Ie cas de p == <? la 



= o, (p <^ (/), = - TT, (p == (/), (T. 195, JM'. 5, 6, 7), 011 Ie deruicr cas est proprement identique 



avec l'intégrale employee de la Méth- 6. 



17. La même remarque vaut quant aux intégrales suivautes. D'apres Méth. 5, W'. S, ou trouve: 



^'^ xSin px.Cos.rxdx 1 ['^ xSin.[(p-^r)x^ 1 l"" xSin.ilp — r)x^ , n ^ ^ n , ^ 



o o o 



= - e—P'l [tV + e-v), {p > r), == - e-(A'+')'Z e-('-— /')? = — e-''? (e— /'¥ — eP7), (p <; r), 



4 444 



n n 



= —e—{p+r]q =~ e--P'i,{p = r), (T. 209, W. 2, o), ou pom- la seconde valeur on a substitué 



— Sin. [(/' — p).^■) au lieu de &'?(. {(p — »');«] dans la seconde integrale partielle; tandis que pour la 

 troisième valeur (ou p = r) cette integrale s'évanouissait. D'après Ie même W. de Móth. 5 on a encore: 



^'^Cos.px.Cos.rx ^ 1 /•"CosKp+rU] , \ ["^ Cos.[{p—r)x} ^ n , , , , tt 

 q-+x- 2/ q^+x^ 2/ 7-+.^-^ 47 4j 



o o 'o 



=—e-/J9(«v+e-9'-),fp>r), = —<;-!/>+'•;? + ^e-i'—P)i=^~-e-"i[e>"i+e-ry),(p<:^r),{T. 209,N'.4,5), 

 4y '4^ 4^ iq 



' Cos.{(p+r)x} n 7t 



t'^Sin.px.Sin.rx. 1 /■■°Cos.((ü — ?'V) 1 C 

 I V r—\dx = -l ^^-^'^^''~\dx j 



(ji^4-.T^ 45 4^ 



= — e-M(e";— e-f9),(p>?'), = — «-('—/>)'/ — ^ é;-('-+/')7 — — e-"i{eP'i — e— A'?),(p<r),(T.209, NM), 

 4:q 4^ 4^ 4^ 



oü 1'on voit que Cos.\^{p — j')j-} a été remplacc par Co.s. {{»• — p].i'} dans Ie cas ou r était plus grand 

 que p. Traitons maintenant du cas de p = r, alors on a Cos. [(p — r)x] = Cos. O = l,et donc par 



Méth. 



ƒ" dx 71 f'^Cos.'^nxdx n f^Siii.^ pxdx n 

 -= — et/ ' = --(e-2/'7+l),/ '^—- = — [\—e-^P9). 



(T. 205, W. 23 et 21). 

 Paue 333. 



