ET METHODES D'ÈVALUATIOiN DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. .M"*". 9. N'. 19, 20. 



ƒ" Cos. px. Cos. r.c d.v In 1 tt n 



(1 

 "" ^ ;r"'^"'- ('X''— rt ) + 7 — 'S'". {q{v + '•)) = — Cos.pq.Si7i.qr , (p<ir), = — 5i'".2 pq,[p=r), . (498) 



/■'* Sin.px.Sin.rxdx n n n 



I ;; ;; — — ^ -Cos.pq.Sin.qr,lp'^r], — — ~ Sin.pq.Cos.qrlp^r),= — — Sin 2pq,'p = r),. (499) 



o 



^^ X Cos.px. Sin.rx (lx 1 — n 1 — n tt 

 ;; :, == - ~^^°^- [iV + 'ryi] — -, —r^os. [[p~r)q] = ~Sin.pq.Sin qr, {p > r), = 

 o 



1 'T 1 Tt" TT TT 



= 2 o ^^"« {(/'t-'')7) + - -~ C'os (Cp-j'),y} = -- Co5.pr?.6'os.<yr,(p<r), = — - Cos.lpq, (p = r). (500) 

 20. Quelqucfois oii peut cflcctiter unc division de la fonctioii :\ Taide d'exprcssions imagi- 



ü'^' Sin. qx dx = j e!'" . dx=^—, \ dx (eiP+l)^' — e(/' ~ ?)'''} , 



ü o o 



I el'^'Cos.qxdx =^ - j dx [cil'+'i)-'' -\- e(r~l)"} . Suivaiit riiit('i^Ta]e (68) les iiitégrales pnrtielles 



sont tniites deux iiulles : seulenient dans Ie cas de p = q, Tintégrale ;\ la fonctiou eO'-ï'-"''' sera 



rOTT 



changc'e dans celle-ci : I rf.c =-- '■Zn; donc on trouve: 

 'o 



ƒ el":'' Sin. qx dx = 0,(p^q) , = _ — = tii , (p == ^), (501) 



"o 



/ eP^Cos.qxdx =0,{p ^ q) , = — ^ n , [p = q) (502) 



On serait parvenu au même but par Ie cliemin contraire, en posant eP"= Cos.px -{- iSin.vx. 

 Par Tintroduction des expressions iinaginaires de Cos.qx et de Sin.qx on trouve encore: 



ƒ'" e!": + e-P^ 1 /"" (epx .}_ e-/"^) (e?i< + e— 9«') 

 ", T Cos.qx dx = — I . ,; — .dx = 

 e-P-': -\- 2 Cos. 2 qx + e-2/''- 2 / e-i'^^ + e-2/'^ + c^'/^' + e-2?^' 

 o -o 



_ i ƒ :,, f 1 , 1 \ _ 1 [_1_ ü . ., i^ -I _ - „ ï'^^ 



2 / ( e'/^-ï')^' 4- c-0' -'/')* ~ f(/'+ï';^ -}- e-(/'+'?'>J 2 lp— 71 4 p+</i 4) 4 p- + 7- ' 



"o 

 Page o 35. 4:3 



WIS- EX N.VTll'EK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII. 



