lil. ar". 9. N\ 20 — '2'2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



/■" eP^ — e—P^ „ 1 /■°° (eP^ — e—P^){e'}'"' — e— 9^'') 



I ~:: ::: •Si». Q-<: dx ■=-- ~ \ — z, — ^ — dx = 



I e2/).r _j. 2 Qgg o ,y ,. _j_ e-2/)a: ■■ 2i J e-P^ -j- c-^/»» -\- e-9^' + e— -9^' 



li nj ' '-^ :l=lU-Z__Lü) !I_^_ 



2i j le^P-W^+e-iP-v')^ eP+ïO^ — e-(p+90ïj 2i\p — qi i p-\-fji i) 4.p*+f/- 







(T. 384, N'. 7, 6), en raison des identicités : 



e-P^ + e--P^ -\- e-^xi- + e~^9^^ =^ {e'P+'?'> -)- e—ip+'p)^] [eiP-i'> + e-!p-9'>} , 

 (ef« ± e-/«) (eï" ± e— 9«') = [e(p+9'> + e-(p+?;;-ï| d=. {c(p-ï'> + e— (p— ïO^j . 



21. Mais il peut se présenter ici uu cas, qui mérite d'être étudié plus en détail. Il a été 

 remarqué par Lejeüke-Dirichlet [114], que dans l'intégrale (a) du N\ 1 il n'est pas permis 

 d'introduire uiie substitutiou diflerente pour chaque terme, lorsque ces termes sout tous deux 

 iufinis. Or, il se peut très-bien que les intégrales dans Ie second inembre soient iufinies, et que, 

 pourvu qu'elles soient liées par Ie signe — , leur diii'érence oo — oo, c'est-^-dire l'intégrale au premier 

 membre, ait uuc valeur déterminée. Pour démontrer la vérité de la remarqué mentionnée, supposons 

 que chacune des deux intégrales en question contienne quelque constante p, et que leurs valeurs 

 soient respectivement représentées par a-\-qi{p) et b-\-<f[p), oü a et 6 sont des valeurs con- 

 stautes : la valeur de l'intégrale il gauche sera a — b. Tant que (f {p) sera finie, la substilution 

 d'une autre variable quelcouque, au lieu de x, ne pourra changer Ie résultat qui restera toujours 

 Ie mème, de sorte que <]{p), a,b ne changeront pas. Mais lorsque ^(p) est iufinie, cette conclusion 

 iie vaut plus. Alors posons la condition que lés <ï' (p) soient identiques avant aucune substitution; 

 et cette condition est nécessaire, puisque autrement leur différence serait tout-a-fait indéterminée, 

 et par conséquent aussi l'intégrale dans Ie premier membre. Lorsque a présent dans les deux inté- 

 grales on fait la même substitution, les deux (f ip) aurout la méme origine et se détruiseut 

 comme auparavaut: mais quand on y eflectue des substitutions diverses, 1'origine des deux q {p) 

 ne peut plus être considérée la même, et par suite la différence (j/ (p) — (f» (p) est devenue indéter- 

 minée. Prenons comme exemple rp (p) = , qui devicnt infinie pour p = 1 ; lorsque u présent 



1— p 



par quelque substitution Fnutre (f [p) serait devenue • -, également infinie pour p =^ 1, leur 



1 1 p 



diflerence — = ne serait plus nulle, mais bien infinie pour cette valeur 



1— p 1— p^ 1 — pï ' * 



1 de p; donc cette substitution n'est pas permise. On verra dans la suite, quelle influence un 



traitement illégitime aurait eu sur les intégrales ii étudier. 



22. Lorsque la fonction a intégrer devient infinie pour uue des limites de 1'intégratioii, on 

 peut y substituer une autre limite, qui en diffère de S, pour faire converger S vers zéro a- 

 près toutes les transformations nécessaires; de cette maniere on se soustrait a la difïiculté du 



[114J Lejeuxe-üiriculet, Journal von Crellc, Bil. 15, S. 258. 

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