ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. W\ 10. N\ 9. 



9. Quaiid 011 veut évaluer Tintégrale 1= ƒ ^(l -\- aSm.- x) —- ^-^, — ^ -^ suivaut cette 



j/ (1 — p^ Sin.'^ w) 



methode, en la dificieiitiaiit par rapport u a, on voit tout de suite que Pon retouibe sur une fonction 

 elliptique de troisième espèce: donc il faut distinguer ici trois suppositions relatives a la valeur 

 de a: 1'. — p* Sin.^ a, 2°. Cot.^ a, 3°. — 1 + (i — p'^)Sin.^ a. — Dans Ie premier cas oii trouve: 



dl d f- 1(1 — p"^ Sin.'- cc. Sin.- x) di; f^ — p'^2,Sin.a.Cos.a.Sin.^a;dx 



du~d«j l/(l— p^SïM.- A') ~/ [l—p' Sin.^'a.Sin.-' x)}/ {{—p'' Sin.'' x)~~ 



o 'o 



TT 



r^ f dx dx 1 



J W (1 —P- Sin.'' .;■) (1 — p2 Sin."- u. Sin.'' .ï) j/ (1 — p^ Sin."- a)) 



o 



= 2 Colu. [T{p) - n'{-p' Sin.^ « ,p)] = ~ ~\, , - [F'(p). E (p, a) - E'(p). F (p, «)], 



y (1 — p Sin.- a) ■- 



en y substituant la valeur de la fonction elliptique de troisième espèce [132]. Comme 

 pour « = O Tintégrale I s'évauouit, il faut intégrer ici dcpuis O a a et il vient : 



r (p , «) doe 



1 = 



" •'^ \P)- 1 '~7T-, o^^.^r^ — 2 1 (pj. I ^ , OU, comme 2 ƒ 



^'^' j i/(l-p\9m.^«) ^^' j i/(l— p2 5i«.-^«)' j Vi^- 



-p'' Sin,'' ot) 



= ƒ 2 E (p , «) rf. F (p , «) =r- |r (p , «)} - ... (a), et que Tautre integrale est V (p , «) par définition ; 

 •o 



ir 

 r-l{\ — p- Sin.'' oc. Sin.'' x) dx 



I " y/ il -p' Sin.''.) -E'(p).p(p,«)]^-2F-(p).v(p,«). (T. 348, N^ 17). 

 ' o 



. „. , fi''l(l+Cot''a.Sin."-.T)dx dl 



En secoud heu soit 1 intescrale : 1 == 1 , d'oü — = 



ƒ 1/(1— p^5i'«.^ï) da 



"o 



ƒ - —2Cot.a . Cosec. ' «. Sin. ^ xdx 2 /" 2 ƒ rfa, 



~/ ( 1 + Cot. ^ «. S»i. = .1-) 1/(1 _ p •' &■«. 2 .r) "" S»i.«. Co5.a / 1(1 +Coi.2«.<Sm.'.r) 1/(1— p2 Si'n.^J"" 



II "o 



'~ 1/(1 —p' S/n.^r)) "" &■».«. Cos. « L" ' "'■'"' ^'^ ~ ^ ^''^J ^ Sin.a^Co^.a "^ 



[132] Car suivant Verhulst, Traitó c'lm. des Fonctiona EUipt., p. 105, on :i : 



n'(-pSm.«,p) = r(p)+ .,, ^""fg- . . [y'(/>)-E(p.«)-E(p).F(p,«)]. 

 ^/ (1 — p' Sm.- «) •- -■ 



Page 331. 45 



WIS- EN N.\TUI]1{K. VEEH. ÜEll KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIH. 



