III. M'*'. 10, H. N'. 47, 1. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOi\, 



17. Excrcices. ƒ V—-^ = - ArcUj.'- , (T. ISl, W. 11), 



ƒ x^ q^ — .r^ q q 



u 



f ^ l+p-x _dM_ ^ ^ ^^^^^f _ ^558), [147], j l{l-^2xCos.X+x'') — = -n^~-X\.{oiJl) 

 J X' q — .ï^ q J iV 6 Z 



O o 



ƒ1 dx l 1 



l{l — 2.vCos.l + x-)— = 7r-+7rA — -Z^ (T. löO, W. 14). 



§ G. MliTHODE 11. RÉDÜCTION A UNE AÜTRE INTEGRALE D:ÉF1NIE PAR LA 

 DIFF3BRENTIATI0X RlflTJiRÉE PAR RAPPORT 7v UNE CONSTANTE. 



1. Il se 2)eut qu'uue seule cliflerentiation par rapport a une coDstante ne suffise pas pour 

 ramener quelque integrale définie ii une autre assez simple; dans ce cas on peut diflurentier une 

 seconde fois, ou même plusieurs fois, soit par rapport h la même constante, soit aussi par rapport a 

 une autre. Mais il ne faut pas perdre de vue que chaque différentiation nécessite une iutégratiou 

 postérieure, qui de nouveau donue lieu u une constante indépeudante: donc il y aura autant de 

 constantes a déterminer, qu'il y a de différentiations eflectuées. II y a deux 'moyens pour dc'ter- 

 miner ces constantes. Le premier, c'est d'attribuer plusieurs valeurs spéciales aux constantes, par 

 rapport auxquelles on vient de diffe'rentier, de telle sorte que Fintégrale primitive regoive une valeur 

 déterminée et connue pour cliacuue d'elles : alors on a autant d'équations que de constantes a 

 déterminer, et la rcsolution en fcra connaitre chacuue de ces constantes en particulier. Mais ca 

 général cette voie ne mènera pas au but, parcc qu'il sera difficile, _si-non impossible, de trouver 

 riutcgrale primitive dans tous ces cas spéciaux. Alors il faut faire usage d'uu autre moyen, qui 

 sera toujours possible; c'est-a-dire qu'il faut prendre en discussion aussi les diverses intégrales, 

 nées par les diflerentiations successives, et y sujiposer une valeur spéciale a quelque constante: 

 ainsi Ton pourra toujours acquérir autant d'équations que de diflerentiations, c'est-ö,-dire, que de 

 constantes. 



[147] Duns ces deux intégrales substituons x = Tang. y et x = Cot. z ; alors pour g — 1 : 



/■2 dx f^ dx 



l l{l-\-p''Cot.^a)~ = nArclg.p = — / /ll+7;^ Tang.'' x)- ,(T. 339, W. 31 et 30j, 



/ Cos. 2x j Cos. 2x 



o 



^- E. 



f" dx C ^ dx 



1 If^pi ^Cot.^a;)-—^ , (559), =nArccot.p = — ƒ 'i(p' + ?a"^-' •^)7r~;r • • • • (^^0) 

 J Cos, 2x J Cos. Zx 



Paffe 360. 



