ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl. IVP. H. N'. 2, ö. 



ƒ'" e—P'^ Cos.'^ qx , dl 

 -^^ dx: differentions deux fois par rapport a 7, alors 



dq 



'e-P^Sin.Zqxdx dM f'" — 2» 



■* _ O I — — ii-ï'/'^^ O ^ ^, ,7 ,. _ t^ 



re-P^üin.2qxdx dM [ 



— l - , =—3/ e-P'^Cos.Zqxdx = '-—, daprès Méth. 4, N'. 11. 



j X ' dq^ J ^ p-' ^4.q2' ^ 



ü o 



^ dl f 2pdn Zq 



Iiitegrons une fois par rapport 7, alors: — = ■ — ƒ -}- C = — Arctg. — +C; or, 



dq J p-^-j-47^ p 



suivant la valeur de — , elle s'évanouit pour 7=0; ceci nous doune C = O et par consé- 

 dq 



dl 2q ^ 



quent : -— = — Arctang. — . Iiitcgrons encore une fois par rapport a 7, et nous aurons : 

 dq p 



f" e-P': Cos.^ qx f 2q 2q p 



j ^^^^^^dx=^ Arcfg.-^dq + G, ■= ^ q Ardg.-^ +^^l (p^ + i q^-) -\- C,. 



"o 



Mais Tiutégrale ne s'évanouit pas pour 7 ^^ O, au contraire elle devient alors infinie: d'oïi il 

 s'ensuit que Fintégrale proposée est elle-même infinie. Toutefois on peut en tirer un résultat inte- 

 ressant en posant q = r dans la dernière équation et en la soustrayant ensuite de 1'autre; dès- 

 lors C est éliminc et l'ou a : 



I -^ ^ e-V^dx =^ TArclg.~-q Arctg. ~^Jr'^l\ \ \. . . . (562) 



J (T' p p 4i p^ -{- ir' 



o 



Mais oa aurait pu la traiter d'uiie autre maniere en la différentiant une fois par rapport a 



dl f^e—P^Sin.Zqxdx 



7, et uuc seconde fois par rapport a p; dans ce cas on aurait cu : — = — / et 



07 J X . 



d-l 



'■1 



f 



I e—P^Siii.2qxdx=^ ~ , voir Méth. 4, N^ IJ. Int&'rons maintenant par rapport a 



dpdq J ' p2-}-47^' ° 1 u 



o 



dl f 2qdp 2q , . . , ^I , , 



p et nous aurons : — = / — — - — 4- C = Arctg. — ^ 4- C ; mais comme 1 integrale — s annule pour 

 dq J p2-j-4^2 p dq 



p n dl p n 2q 



7=0, ilvieut: (i= Arctg. — |- C = - -j~ C; par conséquent ; — = Arctg.-— — — = — Arcig. — , 



comme ci-dessus; et dès-a-présent, nous pourrons continuer comme précédemment. 



^^xP d.v 

 , et diflercntions deux fois par rapport il p, nous obteuons: 

 {ixy- 

 o 



dl nxPdxd-l n 1 . ^ ^ ^I /" ^/' ,/ , ,x , r. 



~= ƒ — , — )"rT= ixPdx^^ '.inté^rons par rapport a», alors: — = ƒ, , = l[p-\-l) -]- L\ 



dp J lx dp^ J p-\-l o r ri r ^^ J^+P 



O "o 



intégrons encore une fois par rapport a p, alors: I = (p -f" 1) {^iP + 1)""^] +C/'-f^i- ^^'^ 

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