ET METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGKALES DÉFINIES. III. M''^ 15;, 10. N\ S, l. 



ƒ1 l_.ti 1 00 (—1)" 

 (lx = A + lk-\- ~- -f- ^ — — — Bin—i pour chaque k, 

 J. — — J) /^fv \ iih, 

 o 



/l 1— A'^- 



ilonc : Lim. ƒ dx = A -\- Ik, Lim. k -- cc. (ï. 3, N\ 6). 



} ^— * 



o 



Prenez-y alternativement k = ak et k = bk et soustrayez, alors il est: 



fl.,;ak — ajiX; Ij/, j 



Lim. I dx =■ l — = l -, Lim. k =-. as . (ï. 5, N°. 27). 



/ 1 — a; aK a 



§ 11. MKTIIODE 10. CAS ol' LA FONCÏION A IiNTEGREU s'ÉVANOUlT FOIJR 

 UNE CERTAINE VALEÜR d'uNE CONSTANTE. 



1. Il arrive souvent que la inéthocie d'évaluation d'une iutégrale défiiiie comportc rintrocluc- 



tion d'une constante, qui doit être éliminée après. Une des voies les plus usitées pour parvenir u 



cette éliminatiou est d'attribuer, s'il est possible, une telle valeur a, une constante quelconque qui 



se trouve dans Tintégrale prirnitive, que celle-ci s'évanouit. On a Aéjh fait usage de cette maniere 



d'agir dans quelques-unes des Methodes prccédentes : on Femploiera encore souvent dans Ia suite. 



fi 

 Cette methode est donc basée sur la valeur qu'une integrale: ƒ /{c,:t:) dx = "E (a,b,c), . («) 



a 



acquierf, lorsque pour la valeur h de la constante c, on a ƒ(/(, .f) =0. En géncral on en déduit 



ff> ' , . 



alors: ƒ f{h,w)dj;--='F{a,b,Ji)==d, . (b); mais cette déductiou nest pas toujours rigoureuse, 



a 



comme on va Ie prouver: uotamment elle est incertaine, quand Tintégrale définie (a) exige la con- 

 dition c plus grand que h ou plus petit que h. 



Retournons a la détlnition primitive d'une integrale définie, c'est-a-dire ii l'équation (o) Partic 



Première : jf{c , x) d.v = Lhn Ö (/(c , a) +f[c ,a + S) +f{c ,a + 2S) + . . . +f{c ,a+[u-l]ö)} , . (c) 



a 



et supposons que la valeur /; de c rende /(A,j;) zéro, alors il arrive de deux choscs Tune: il 

 se peut en premier lieu que ^{h,x) s'évaiiouisse pour toute valeur de .^■ entre les limites a ti b: 

 dès-lors chaque terme dans Ie second membre de l'équation préce'dente s'évanouit séparéinent, et 

 1'intégraie elle-même s'annule par couséqueut; — mais en second lieu il peut se trouver entre les 

 limites a et ö des valeurs de a, par exemple g, telles que f{c,g) ne s'e'vanouit plus, mais 

 devient plutót indéterminée ou même iufinie: dans ce cas Ie terme correspondant S/{c,g) ne 

 s'aunulera pas toujours, mais pourra acquérir une valeur déterminée et différente de zéro. — On 

 s'aper^oit aisément, qu'ici la même chose a lieu qu'au N'' 7 — 9 de la Première Partie, c'est-h,-dire qu'il 

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