III. M*^". 16. N'. i, '2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



f'', (9-'- 19+' (l) 



s'agit ici d'une integrale siugulière. Or, ou a : \ f{h ,.«) dx = ƒ f[h , x) dx -\- j f[h , .r) dx -f- I f[h , a-) d.v. 



a o. *9 — £ <J-rz 



De ces trois intégrales partielles, la première et la tioisième sont dans Ie premier des deux cas 

 mentionnés, c'est-a-dire que la fouction f{h,x) iie devient indéterminée pour aucuiie des valeurs de x 

 eutre les limites a et g — f, ou entre les autres g -\- i ti h : ces intégrales sont nulles par conséquent. 



t [h , x) dx = j f {Il , x) dx. . {d) 



a y—z 



Tout dépend donc ici de Fexistence d'une valeur g de x, qui, située entre les limites a et 6 de .r, 

 rende f{h,x) indéterminée; lorsqu'elle existe, on a 1'équation {d)\ lorsque au contraire elle n'existe 

 pas, Tiutégrale primitive est nuUe. [16-2]. 



r^—r-—r et k = Q; dans cc cas, la fonction y- — ; devient nulle avec 



k^-\-x' k^ -j- .«■' 



— a .' 



l; hormis lorsque x est zéro aussi, car alors elle est , valeur indéterminée : et comme cette valeur de x 

 tombe entre les limites — a et 6 de x on a l'intégrale singuliere [d) pour g nul : 



ƒ+' kdx p X e — f f I i\ 



, ^ ^^ = ƒ d.Arctg.-^ = Arctg.j — Arctg.— = Arctg.j-{- [n — Arctg.j] = n . (619) 



Or, 1'intégration immédiate aurait mené dans ce cas-ci au niême résultat: car ou trouve: 



ƒ!> kdx /■* X b — a '' / a\ n 1 n\ 



P4^ = ƒ d- ^''c'i;- J, = Arcig.j—Arctg. — = Arcf<j.~ + [ n—Ardg.- \ ==--[. \n— -j =n, 



o\\ l'on a supposé enfin k zéro. — Loisque au contraire ia limite inférieure était -j- a au lieu de 



— ö, il n'y aurait [jIus de valeur g entre les limites et Fintégrale serait nulle: 



^4 kdx 



O, (C20) 



f 



comme il résulte aussi de l'inté^ration immédiate: 



[+'' kdx C+i' X ^ h a 



I -= I d.Arctn.— == Arctq. Anitq.— ^^ O, ijOiir k ^= 0. 



j k^ -\-x- I -^ k ^ k -^ k ' 



+a '-fa 



Si encnre la limite inférieure est zéro, il faudra prendre l'intégrale singuliere entre les limites O 

 et i, d'oü il doit résulter unc valeur moitié moiudre. En eflet : 

 [^ kdx f' kdx /; x t n 



j kT^ = 1 ¥T^ = I "-^-'^-^ - ^^-'n - ö- ('i- =^*- N • ^)- [i*^-^]- 



[162] On pput consultcr sur cette matière Sculömij.ch, Grunerls Arcliiv, BJ. 11. S. 08. 

 [163] Meijf.k cluis son Exposé Élémentaire de la ïhéovie des Intégrales üéfinies trouve fautivcment 

 Pa?e 382. 



