111. M^'. 17. N'. 16, 17. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORJITiLES DE TRANSFORMATIOX, 



l — „ d'oil,aprèsavoirdivisepav2: ƒ Lil — p-om.'^x) ^, — „ „. ^i, — = 



l—p-'Sm.^x\/(l-p-Sin^a:) ^ J Y[l—p^Sin.^x) 



1 f2 dx 1 , . , 



= - ƒ l{\-p^)--j- — — —= /(l_p^). F(p),(T.34.8,NM2),d'aprèsladéÜmtion. [171]. 



o 



■TT 



1 . . (^ l {1 ~ p'' Sin.Kv) 



Supposons encore dans Ia mèrne formule / lx) = - lx, et il vient : ƒ — — ; :,-^, — -— -, dx = 



X j 1/ (l—p^ oin.^ x)^ 



o 



^p^l-p^.^^_J-p^ d_. ^-i_/- Y-p^5^«. ^.^ .^, 



f l_^,ï 1— p»&«.'-j:l/(l— p'Sin.^o;) 1— p'/ 1— p' «^ ^ f 



o o 



= ^ ~^ ^ / "(7^^/ (1 _p2 5i„.^ a;)— ^ / '^(1 — p' &»•' ^) <?.ï|/ (1 — p' Sin.^ x). 



o *o 



Or, Fintégrale au premier membre sera évalufe Méth. 32, N'. 7, et la première integrale au 

 dernier membre est E' (p) par défiuition ; par conséquent on déduit de Téquation précédente: 



TT 



ƒ"/(!— p2&n.2.ï)J.r|/ (l—p2 5/«.2 .f) = Z(l _2j2).E'(p) — [— (2 — p2) F'(p) + ' 



+ {2 + l^(l-p2))E(p)] = (2-p2)F(p)-{2-j/(l-p2)}E'(p). [172].. (1126) 

 17. Applications de II, 99. Soit / {Tang.- a. Cot.^ x) ='F{p,q) (oi\ F de'note uue fonction 



/ Tang. jï\ 1 [Tang. a. Col. xfl 

 elliptique de la première espèce) et supposez-y Tang.^i = I— 1 — -— j — — , pour un q 



lCoi.a\9 {Cot.^.Tg.xf9 

 quelconque. Dès-lors ou a aussi ; /{CoL- ^. Tg? x) = F (p , i/i), avec Tg. i;- = -— — , ^ . 



[171] Déja déduite d'une autre maniere Méth. 10, N'. 9. 



[172] La combiuaison par voie de soustractiou de ccllc-ci avec Ia précédente, eu égard a l'identité 



1 — p2 Stin? X 



l/ ( I — »2 Sin.- .r) = , nous fournit enoore : 



^ ^ ^ > |/(1— p2 5j„.2^) 



TT 



j\i-p''Sin:-.) ^^'"_^^^^^^^^^ 



ƒ2 Cos 2 X dv 1 1 



l{\-p^Sm.^x) • • ^ ^ =^-(2-p2— ■(l-p2)7(i-p2)jF(p) (2_./(i_p.)]E'(p).(1128) 



1/(1 — p^bm.-x) p- p- 



Pacre 424. 



