III. i\r". 17. N'. 25, '26. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



-^ [Ardg.iU'^y)) — ATctci.[{e<'!l))) = / ~{{r ^ \)n — [r ^r \)n)= \nl-. [185]-. . (11G4) 



y j ^ "• 



o a 



Lorsqu'oii af{xy) = Arctg.{{q-\-e'^y)), ou a de mème f(a;q) = {r-{-^)n etf{xp) = Aïctg.((q-{-l ))-\-rrT, donc: 



ƒ-- [Arctg. {(q-\-el'y))— Arctg {{q-\-e°'0)} = {!i n — Arctff.{q-\-])] l- = .Irccof. (o+ 1). ^-.(1] 65) 

 y ' a a 



o 



Puur p = O, 9 = X , f{xy) = e^'~<^'9-i{'"J)), on a f{qx) = éx+h)'^ , f [px) = e'^, donc: 



-"^ (t"4'-Ci/.((4.'/))^_e^'C/5,.((aj))} := / -1 ^gCr+i)r_grT j ^ gr;r (gi^ _ 1) Z_ (1166) 



O " ■ a 



p-\-qe-^y 



Enfiupour/:' = O, 5 = x,/{xy)^= ,ouleöet Ier/dans Ie numerateur n'ont aucuiie 



re^i/-\-s-\-ter-^!J 



relation avec Ie p et Ie q dans Ie théorème employé, on a /(^a.') =-- = 0. ƒ (/w)^ ,donc: 



r-\-s-\-t 



rdy\ p-\rqe-l^^ _ _P + qe-"''_ \ _ ('' '^i _ P + 9 ^ _ P + ? ^« ,^jgy, 

 y y (rê''^ + s + 'e~''^ '•e"-'' + s + ?e «-^j / x\ r -\- s + tl r ^ s -\- t 1 ' 



o a 



26. Quant aux formules (295) et (296), [186], supposons dans la dernière f(u) = , 



alors il vient : 



/'^dxi q V \ . ['^<iu d. u f" du d , u \ 



- \ i — = {q—i>) I . = {q—p) ƒ - — . ) — A = 

 o •'o •'o ^ ^ 



^■' " \tc\e>'—e-" JU J «^ Ie" — C-" jJ ' 



u 



Nous j avons introduit la constante A avant rintégration par parties aliti de inettre Ie terme 



. , , O , ,. . ^ . u 



integre sous a forinc — pour la limite O de n ; ;\ eet eft'et il faut que A soit la valeur de 



ü e" — e~" 



pour ?<-= 0; ce terine se présente ici lui-même sous la forme , donc il faut Ie remplacer selon les 



1 . . , , ,. . 



régies ordinaires par la valeur — , qui devient i pour k = O ; donc A ^ c et Tequation («) devient : 



ƒ""(/.; / q p \ fl / u \p f"" du f u _|i 



J .x \e<}^ — e-?^ eP': — e~P''l~ *-u [c — e-" Vio / «^ \e" — e-" ')J' 



[185] Sur une expressiou uu pen moins générale voycz Sléth. 5, N'. 1.3. 



[186] Voir 1'Addition A ri la fin de rouvragc. 

 Pasre 430. 



