lil. M''^ 18. N'.l. THEORIE, PROPRIETÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



// intégrales de cette espèce," [188] en traite au long. Apvès avoir donné uue exposition de la 

 methode, nous allons Ie suivre dans les diverses applications qu'il eu fait: nous y ajouteroiis 

 des exemples nouveaux, niais il faut observer la circoustance remarquable, qu'ils entrent presque tous 

 dans Ic cadre tracé par Cauchy. Les considérations suivantes servent de base a cette mi'thode. 

 Lorsque dans quelque integrale défiuie : 



ƒ 



,/(^)-rW'^-*-, («) 



il est possible de décomposer la fonctioii ;i intégrer eu deux facteurs, de telle sorte que 1'uu des 

 facteurs 1' (a') p. e. coiistitue la valeur de quelque integrale définie connue, c'est-ïl-dire, que Ton ait : 



F(.r)= l\iy,.r)dy, (/-) 



f' 



oti dans la fouclion 7 1'arguinent .e doit uécessairement entrer comme constante, — on peut écrire 

 réqiiation identique : 



/ nx).Y{.v)iLv^ T/G^O^*- {\{>J,-r)d,j. 



(^•) 



/' 



Mainteuant supposons que Tintégrale doublé soit de telle nature, que la fonctiou f{.r).(f){ij,,v) ne 

 devienrie discontinue pour aucune valeur de .r et de y, située entre les limites respectives a et b, 

 2) et q: dès-lors il est permis, selon la Partie Première N°. 44, de changer l'ordre des inté- 

 grations ; par conséquent : 



/"/(4F(.r)(f.^• = Tdu I ci{y,.v).f{.v)d.r {d) 



a pa 



Ensuite il est nécessaire pour Ie succes de notre methode, que l'on connaisse la valeur de la 

 dernière integrale par rapport .\ x. Soit donc: 



(f- {;/,''«)■ f i-'v) d.v = x{a,b,y), . . {e), et par suite ƒ f{a-).'P{x)dx= j y.{a,f>,y) dij . . (ƒ) 



o « p 



Or, il se peut en premier lieu que Ia dernière integrale par rapport a y soit connue, et dans ce 

 cas on a évalué la première primitive; mais il se peut aussi, que l'on ne connaisse pas la valeur 

 de cette deuxième integrale par rapport a tj : dès-lors l'équation (/) ne sera quune relation entre 

 deux intégrales définies, mais dans ce cas même elle peut être d'un grand interêt et servir auprès 

 de quelque autre réduction d'intégrales définies. — On voit qu'il y a beaucoup de conditions a 



[ISSJ Ce Méraoire, presenté a TAcadémie des Sciences Ie 3 Janvier 1815, n'a été imprimu qii'en 

 18il dans Ie 28"'= Cahier de Journal de 1'Ecole Pohtcchnique, p. 147 — 248, ou les cinqiiaiite premiè- 

 res pages sont consacrées ii rétude de la methode en question. 

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