III. AP. i8. N'. 1 — 4. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSEORMATION, 



[q-ri)-P—{q+ n)~P 

 T{p), 



r (<]—ri)-P+{q+ri)-P , , T ^. 



j e-'l^Cos.rd:xP-'^dx = - ^ — T{p), j e-1^Sin.rx.xP-^ dx=- 



o o 



(T. 386, N\ IS et 14), (p<^l); valeurs qui iie sont imaginaires qu'en appareiice, et que nous 



trouverons a, 1'instaut sous une autre forme. 



3. Poui' F, {x) = 9 + .'" et fix) = ai'— 1 e-", a = O, 6 = x la formule XIV fournit: 



/'^ ^.r-\ ^—sx dx 1 r« -.co Y ('" ƒ"" 



{q + x)P r{p)y \j Tip)] 'j 



n 



1 f^ T(r) r(r) f" e-iy yP-Uly 

 = - I e—yiuP—^dii ^-^, (suivaiit Metl). 3, N\ 7), = — 7- ƒ '- — ; . Cette deniiere 



v{p)j •' •^(« + y)' ' T{p)] (5 + j/)'- 



o o 



iutégrale est de la même forme que Tiiitégrale primitive, et de ce cuté-la elle ne nous apprend 

 rien : uiais en revanche elle fournit une propriété bien curieuse de cette iutégrale quant au chan- 

 gement des lettres r et p, q et s. 



Soit encore F, (.«) = x et f{x) = e—'l'^Sin.rx on f(x) = e-l^Cos.rx successivement, alors 

 il vient, quand on preud a = O, b = <x : 



/ = J nP-^du I e-i<J+y>Sin.rxdx = --- ƒ yP-Uhi- 



j o^p r(p)j-^ ^y T{p)J' ■'', 



•n n n O 



-\-iq-\-yV 



= ^T\ t ^"'- V'^-flArctrj.-y (1172) 



r(p) Sm.pn l q) 



re-<i^Cos.rxdx 1 /"= ,, T .^^ n ^ ^ Tn .^ ? + y 



ƒ — = / yP-Uly I e-i'J+y)^Cos.rxdx = —7- / tjP-^ dy — - — — = 



o ü Ü 



n („2 j.r'i)ifp-l) c r] 



= ^ Z- ^°'- P -p)ArcUj-\,P<^; (1173) 



r{p) bin.jm { q) 



OU les premières réductions ont eu lieu suivant Méth. 4, N'. 1 1, et les secondes suivant Méth. 27, W. 4. 



/"" r(p) . / 4 A 



Reinpla^ons encore p par 1 — p, il vient: ƒ e-'l'^ Sin.rx.xP-Ulx ^= -- ^-^~^!^in.\p Ari:tg.-\, 



o 



1 e-<i''Cos.rx.xP-UJx^ ^^'-^ Cos.ip ArcUj.'\ (T. 3Sfi, N^ 12 et 13), [193] lorsqu'on 



j [q"- -irV'yp \ qj 



o 



a égard a la formule (B) Méth. 4, W\ G: et voila les expressions, annoncces au N^ 2. 



4. Soit dans Ic théorème XIV, p = l,f{x) = Cos.px, F, [x) = q^ -\- x'^, a = O, b = x , 



[193] Voyez en outre Méth. 3, N'. 7, Métli. 2Ö, N°. 2, el .Ak'th. 33, N". 5. 

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