cas 



ET METHODES ü'ÈVALUATIOiN DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. iW'. 18. INM5- 



sera piéférable. Pour y paiveiiir, écrivoiis la inêtne integrale de Méth. 10, N'. 4 aiiisi : 



/ Sin- rxy e-.'' = Arcta.rx, il'oü résulte Ie théorème: 

 i 'J 



j Arcl(/.ra:.f{.T)d.t: =1 e^!/ j Su>.rj;y.f{.i-)diV (XXl) 



'a O <i 



Oa voit que la diflereuce entre ces ileux théorèraes consiste dans les places ciu^occupeiit les fonclious 



exponeutielles et les fonctious circulaires directes, et Ton congoit aiséineiit que sous la dernière 



forme elle peut se prêter a plusieurs applications, que refuserait la première; Ia diflereuce qui existe 



eucore entre les premiers membres n'y fait rien, puisqu'il est très-aisé de la faire disparaïtre. 



Sin. px 

 Pour en faire une application, so\i f Li:) = — -, et a = O, ö = =c , alors: 



ƒ"" Siu.pxdx ('^ dl/ i"^ Sin.px.Sin.r7/x ,,, --.^r^i^ 



Arcto.rx = 1 er'J \ — - dx. On a evalue cette integrale Aletli. 9, 



J q-^X- ] y] q^-\x- 



U 'I o 



N'. 17, mais on y a vu que sa valeur diflëie selon que p est plus grand ou plus petit que nj; 

 il en résulte que ron doit diviser rintégration par rapport a y, entre les limites O et c» , en 



deux parties, 1'une de Ou- (oü donc toujours ly est plus petit que p) et 1 autre de a .o , 

 r 



OU au contraire ri/ reste toujours plus grand que p. Ainsi Ton a: 

 ƒ* Sin.pxdx Tl [re-!/ dn . . '^ , , f'^e-i'dy 



j ^ «/' + *■* i'j J u *'/ J y 



o ü ^' 



TT [<>- e^rq-i);, _ e-lrq+iy n ;", dy ,71 r dy 



= -e-V'i I - d!j — ~e-i"i l e'"i-^) -^ -\- — cfi l d-C-ï+O -"^ = 



■iq J y H ] y 47 ; y 



o > I'. 



OU Ton a substitué Tintégrale du N'. 5. 11 semble évident que cette valeur devient discontinue pour 

 Ie cas de rq == 1 ; néaumoins nous réussirons ü en trouver Texpression finie par une autre rcductiou. 

 Or, reprenons la discussion précédente ;i la formule (a), qui ne se ressent pas eucore de cette valeur 



1 



particuliere )■ = -; et nous aurons : 

 'i 



[310] Car au moyen de la siibstit ilion dr lx =-- ^/, o\ a: 

 ,'"e±<>^dx ("el/dy 



j ^ = -n.(±a/0 (1211) 



j ^ J y 



a ±al/ , 



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