ET METHODES Ü'ÉVALUATIOIV DES INTÉGRALES DÉFIMES. III. IVP. 21. N'. 1 — 4. 



Loisque maiuteiiant Ie terme gcuéral sous Ie sigiie de sommation est de telle uature que la série, 

 qui en résulte, peut aisémeut être sommee, alors cette somme sera par conséquent la valeur de 

 l'intégrale définie au premier membre; et en effet ce cas a lieu quelquefois. 

 2. La formule meutionnée nous donne par exemple: 



ƒ 



(f dx = Lim. ü Z 3«+"'^ = Lim. ('S {5" + 5"+'^ + ^«+2^ + • ■ • + f/'+(/'-')<?} 



1 — qpS l — qli-a S 

 = Um.q"d{l+(i-'+q--'+...+(lU>-^)'') = q"Um.S j = q<'l/m.8 ~ ~ ^{q"—q'')Uin. ,,. 



Or, pour Lim. ('5 = 0, cette limite devient -, indétermine'e, mais par les régies ordinaircs : 



d 1 1 /■'' q'' — g" 



Lim. T = Lim. ^rr = — -, et donc: J o^ dx = — (liïól) 



l — q'^ —q^lq Iq j ^l 



a 



ƒ'" dx V-^Sin.qnS P—^Sin.qn8 xSin.qnS n — qS 



Sin.qx — = Lim. o .2' = Lim. ^ = Lim. .2^ = Lim. — - — , 

 ^ X o WO o « o « 2 



o 



(C. P. 112), = - . [228]. (T. 191, W. 5). 



4. ll{l—2qCos.x+q')dx = Um.Ö^l{l~2qCos.rt8+q-')^Um.-:^l(l—2qCos.^^+q-\ 

 J o P o \ P j 



o 

 Mais comme d'uu cóté une somme de logarithmes est Ie logarithme du produit des foiictioiis 

 respectives, et que d'autre part Ic théorème de cotes nous apprend que 



(l_2o+r/2) (l—2qCos.-+qAll—2qCos.'^+qA...(l — 2qCos.- n + q-]=-—^{q^P—l), 



\ P l\ P I \ P I 1+9 



nous pouvons protiter de cette équatioii pourvu que dans Tiiitégrale priraitive b soit n. Dès-iors on 



trouve: rin—2q Cos. x+q'') dx = Um.- l \ 7^('/''~l) =Lim. -^— - + Lim./ (*?2,,_i)P. 

 j p ll+q } p l+q 



o 

 Passons maintenant a la limite zéro de 8, de sorte que la limite correspoudante de p devient infinie. 



En premier lieu on a Lim. - l ^ = O ; mais en second lieu il faut distiugucr les cas de q 



p l+q 



[228] Déja déduite Méth. 6, N\ 5 et Méth. 17, N'. 3; voycz encore Métli. 34, N^ 2. On aurait 

 pu agir ainsi suivant Méth. 18: 



/co ^^ .ro ^=0 ^x ^.o ^00 p /•« y 



Sin.px — = I Sin.pxdx 1 e-^v d// = j dy j e-^!i Sin. py dy = j dy ^ . , = ƒ d-Archj.'-, 



o 00 00 o <> 



dono = ^, =r^ O, OU = — -^, suivant que p soit >, =, ou < 0. (T. 194, N'. 5 a 7). — Legendre 



la déduit encore comme la somme des intégralcs T. 204, N^. 3 et T. 212, N". 4. 



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