ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. Ili. M""". 22. N'. i, 2. 



séparéraent: de telle sorte on acquieit uue uouvelle série comme la valeiir de l'intégrale défiuie 

 primitive; et c'est cette série qu'il faut sommer, lorsqu'on veut trouver uiie expression fiuie ])our cette 

 integrale. Lorsque au contraire il ii'est pas possible de duterminer la somme de cette série iiifiuie, — 

 car, lorsqu'elle serait finie, on peut la considcrer comme uue fonction entièrement détermiuée, — 

 il en résulte uue relation entre une integrale défiuie d'une part et une série de l'autre : et ces 

 relations sont souvent d'un graud interêt tant dans la theorie des intégrales défiuies, que dans celle 

 des séries. — Mais ici il ne faut pas perdre de vue, qu'en général la série, qui résulte du dévelop- 

 pement de la fonction ti intégrer, doit être convergente entre les limites de Tintégration, puisque 

 suivant N". l de la Première Partie, Targument regoit toutes les valeurs possibles entre ces limites; 

 et que par conséquent cette série doit continuer de valoir pour toutes ces valeurs. Mais d'un autre 

 cöté ce ne sont pas ces séries elles-mêmes, qui se présentent dans Ie résultat; on les intègre première- 

 ment par rapport ïi la variable x entre des liuiites dounées, et il suffit, mais aussi il est absolument 

 nécessaire, que la série intégrée soit convergente, Un exemple nous montrera qu'il est possible qu'une 



série non-convergente Ie devienne après Tintégration. Les expressions !È Cos.nx et 2 Sin. nx ne 



1 I 



convergent pas; puisque pour un ,r égal ;i une partie aliquote de tt, soit -, il vieut un terme 



qui se répètera pour la valeur l2«7t-| — de .f: ou, en d'autres mots, les termes, dont les indices dif- 

 ferent de 2a, seront égaux: c'est-a-dire, ces séries sont périodiques et il n'est pas po?;;ible d'en assigner 

 uue somme. Mais quand on les intègre par rapport a x, sans avoir égard a des limites, on obtient : 



ƒ•» 00 r 00 Sin. nx f «> °=, /" ■» Cos. tix 

 dx 2 Cos. nx = ^ ƒ Cos. nx dx = 2 , \ dx2 Sin. nx = 2 \ Sin. nx dx = — 2 , 

 1 1 y i « ; 1 ij 1 « 



et les deux résultats sont des séries convergentes. [2;32]. 



r XP dx r xP dx r xPdx _ 



"^7 l-^2xCos.}.+x-~J {l-\-x/'—'ixSin.-'yk~l {1+xf 

 o o Ü 1 



2. 



(l+.r) 



{■ZSin.[i.y^ 



ƒ'" xPdx ^ X" co , /'* xP+"dx 

 2 (3 Sin. i l)^" = 2 (2 Sin. }. X)-" ƒ . Ce develonpement est 

 {l-i-xy o(l^-.^■)2"^ ' ' 0^ ' ' j (l+.tf«+2 ^' 

 o o 

 . . . ^x , 



permis ici, puisque est toujours moiiidre que Tunité, et que [Sin.],).)'- reste toujours plus 



(i + A-)- 



petit que l'unité. Au moyeu de l'intégrale de Méth. 'i, W. 2 et ensuite par (C. P. 85) on trouve : 



[232] Cette methode est souvent usitée par Legendre dans ses Exercices de Calcul Intégral et par 

 Poissox dans son Mémoire sur les intégrales dcfinies et sur la somraation des suites dans ie Journal de 

 1'École Polytechnique, Cah. 16, p. 215—246; Cali. 17, p. 612—631; Cali. 18, p. 295—341; Cah. 19, 

 p. 404—509; Cah. 20, p. 222—248. — Voyez encore Cl.u'sen, Journal von Crelle, Bd. 7, S. 309. — 

 BoKCOMPAGNi, Journal von Crelle, Bd. 25, S. 74. — Diengek, Journal von Crelle, Bd. 46, S. 119. — 

 Akndt, Gruncrt's Archiv, Th. 6, S. 434. 



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