111. }iV\ 22. ÏN'. 8. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIO.N, 



valeurs Je p et de <], (1 — ij Cos. x ^ k Si7i. jj) — i{/t Cos.,v -{- iSiit. .v) ; pour rannuler il faut 



d'abord que nous preuions h Cos. .r -\- l Sw. .r == O, d'ou Cos..v = ■ ^-^ , ,.,^ , Siti. x = ~r, ,':,~\~rrs '■ 



\/{h^+l') \/{fi-+l^) 



substituons ces valeurs daus Tautie terme J — gCos.x — kSin.x, qui doit s'évauouir de même, 



il vient l/(^^+^')=Ö^ — ^'^- Douc voici Ia condition du cas, quaiid la f'oiiction a intégrer 



deviendra discontinue ; par conséquent il faut considérer séparémeut les deux cas oii (jl — lik est plus 



grand ou plus petit que [/ {h'' -\- 1"^). Maintenant afin de diviser Ie déuominateur en deux 



facteurs, substituons (d'après C. P. 34, 36) les valeurs imaginaires de Sin.x et Cos. x, il vient: 



\—pCos.x—q Sin,x=l—\ {g-\-l-\-Id—ki)e':' — Ir [y — l+Iti-^-ki) e-^' = c {i — ae-^')(l — be-^% 



iVoCi c = i + 5 1/ (1 — P' — ?")' posous = - — — , a = — - — , b = — , ; de sorte que Ie 



\ Z 1 l + r l-\-r 



dénominateur se décompose en deux facteurs : reste u présent a Irouver les fractions jjartielles 

 :—^ — + 1- -, d'oü résulte 1-équalio.i 1 = I -^ (A + B) + C 1 + J^~^^~- 1 _ 



__ I" d A + B + ] (p Cos. X + '] Sin. .(■) 1 — [- (A — B) (q Cos. x—-p Sin, x)}. Le dernier de 



ces trois termes, étaut imaginaire, doit ètro zéro: donc A = B; le second, comme il dépend 



4.C 



de A-, doit s'évanouir aussi : donc A -|- B + = 0; le premier enfin doit étre égal a 1; 



1 + r 



1 +»• f 1— »■- 1 



donc puisque p- + q"^ = 1 — r'^: 1 == — — (A + B) + C |1 + .^ j • La resolution 



1 1 +r 



de ce système d'équations fournit A = B = -, C = — — — — , et par consequent enfin : 



r 2r 



1 ' ^ l ] 



-j- : — 11. Avant de passer au déve- 



1 — p Cos. X — q Sin. x r ) p — qi . p + 9^ 



f 1 + j- 1+r 1 



loppement de ces fractions en série, il faut s'assurer si le module de a et de 6 est plus petit 

 que l'unité, condition nécessaire pour la validité de ce développement. Mais comme on a \ -\-r 

 dans le dénominateur de « et de 6 et que r dépend des quantités imaginaires p et q, il faut 

 prendre r = s — ii, ce qui donne 2s^ = « + l/(«* + 4 (3'), 2<2 = — « -f l/(«^ +4 ^*), oii Ton 

 a supposé « = «v— 6^ = 1— ^^4-/(2 — ^'+P, ^.=st=gh-\-kl; d'oü s^+t^ =i/ (a^ + ^i?»). 



^ ' (l+«)^+«^ (l+s)^+<^ 



Pour igl - hky ^ [h^ + P) on a [<jh + kl)'^ ^ [h^ + l') (y^ + F- - 1), {s' + r-y' = 



== «^- 4- 4,iP ^ {rj- + k^ + A' + l'-\)\s^ _"+»^(^J:*'L'_) > (/,2 ^ p) ^ {gl-W =\ plus 

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