f 



ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÈGRALES DÉFINIES. Hl. M". '25. N^ 21 — 25. 



r Sin. sx \ I xdx 



'l +ZrCos.fx-\-r^y2''Sin.\/x + aArctg. 



' , 1 + »" Cos. sxj ) q^ — x^ 



n , „ { . ! rSin.ns \) ,?) 



= {[-{-2rCos.rjs + r-yi"Cos. \pq + aArclff.[- -i U, f- fractioniiairc , .(1478) 



•2 ( \ 1 + '' Cos. qsj ) ^ s 



1 . „ f . / r Sin. os \) n fa\ ^n 



^--^{l + ^.rCos.qs^T^)ïaCos.\rq+aArcUj. |— -^|| + ^^ ,.7 [^ entio>s = 4 . (1479) 



22. Quant aux intégrales obtenues aux N'. 15 a 21, il y a la mème observatioii :\ faire qu'au 

 N°. 14, car les séries que ces valeurs contienneiit parfois sont toutes finies, et peuvent ainsi aisé- 

 ineiit être calculeés : mais'cn outre elles s'évanouisseüt ou se réduisent a uii seul terme, toutes les fois 

 que Tod a p plus petit que s dans les numéros 18, 19, 21, et plus j^etit que 2.'ï dans les numéros 17 et 20. 



Les intégrales déduites ici N°. 7 ;\ 21 sont toutes nouvclles h. rexcepiion de quelques-unes, 

 mais elles sont assez intéressautes j^our niériter une place, surtout en ce qu'elles font connaitre 

 1'influence, que peut avoir une relation entre les constantes d'une integrale définie: iuHuence, qui 

 est tont aufre auprès -d'intégrales de même forme, et qui même sj annule quelquefois, sans qu'il 

 soit facile de présager ces divers faits. 



23. Apiilications de 11, (222), (223). Pour .f- (.r) = (1 +ra)-« on a par II, (222): 



o 



1 A'P-i(l— a-)?-i 



— — -^ — óx = V,{p,q){\-\-T)-P, (T. 4, W. 15); celle-ci deviont pour »4-(7 = l, 



( i -f- rx)P+'l '- ' < i 



f 



comme alors B{p,q) = Sin.prj: (voyez Méth. 4, N'. 6, Note, form. Bj: 



ƒ 



' .t'P— 1 dx 71 1 — 5 1 



,-, TTT ~ = 7^ vr7"V • (T- 6, N\ 2). Foui- q = ,p = l +-s,r =-. —r\ on a 



(l—x)P l+ra Sm.pn.{\-\-r)P ' 2 ' -2 , "" a 



■r'" dx 1, /-+* 1 — *\ (l — »-)~'—(l +'•)-* 



/' xi'^dx /2 +5 l — s\ 

 ire: / p = = B — —, | 



J [{l-TKv){i—x)]H^-rs} \ 2 ' 2 y 



2rs 



(T. 16, N\ 7). 



Pour la nióme valeur de (( {x) la formule II, (223) nous donne 



ƒ 



' e-9i xP-'' dx 1 «> a"n p^n 



7rT^ = ?.'-""frsV'" <'""' 



La substitutiou des développements C. P. 07 et fiS dans Ie tliéorèine N, (223) fait évanouir les 

 Aon-i-i et les A2,i respectivement, et Ton obtient: 



e-9^xP-^Cos.rxdx=^-^^-T[i,,^i—i-iy\-^^ ,j ,-...,.-. &«.«v/.=^^^r(,)^^(-l,«-j .[256]. 

 ü o 



[256] Pour ;) etitier o;i Iroiivc cctle clernJL'rc intégi;ile T. SS6, N'. 11. 

 Page 513. 65* 



