ET METHODES D'ÈVALUATION DES INTÈGRALES DÉFLNIES. lil. iM''". 'I'i. IN'. 1^ ± 

 SECTION CliNQUIÉME. 



METHODES, QUl RAMÈNENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉUENTIELLES. 



§ 1. MKTHODE 24. PAR UNE ÉQÜAÏION DIFFliRENTIELLE DU TREMIER ORDRE, 



1. Lorsqu'il est permis, daprès N'. 30 de la Première Partie, de diderentier uiie integrale 

 définie 1 par rapport ïi une constante quelconque p, il se peut ijue Ton tombe sur une integrale 



définie qui est connue d'autrc part: et dans ce cas on obtient 1'équation -r- =/(p). Or, Tin- 



tégration de cette équation par rapport u p nous reconduit alors vers l'intégrale primitive 1: c'est 

 la Methode précédente dixième. Mais en second- lieu la diflerentiation par rapport a la constante 

 p peut donner une integrale, dont la valeur n'est pas connue, mais qui est une fonction quel- 

 conque de riutégrale primitive: alors on a - j- = f (l) -\- '}• {p), équation diflV'rentielle du pre- 

 mier ordre. Il nous reste a l'intégrer; et si cela nous réussit, nous trouvons tant Tintegrale 

 I, que sa diflerentielle j-: lorsque au contraire cette intégration iie réussit pas, on n'a qu'une 



relation entre une équation difierentielle et son integrale sous forme d'une integrale définie. En 

 tous cas la dernière intégration implique l'addition d'une constante arbitraire; sa détermination 

 donne lieu ici aux mêmes remarques qu'au N^. 1, de Méth. 10. [264], 



J r^r. 



e X' dx donne: — = — ^Q I e ■<■— = — ^9 ~ / 



dq J X^ q) 



r '"'^. 



(7 dl dl 



par la substitutiun de x = -. On a donc : — = — -21, d'oü ~^ — 'Idq: son integrale est 



y dq l 



r 1 



ll = — %q-\-C; I = Ce-2'y. Pour q zéro on a (Méth. 4, N\ 7): / c-^-rf.r = i/ti = CeO = C, 



o 



^"_r2-9" 1 —Xdl ["^^x-^rdx I 

 e r^ d.f =-6-2? i/7T,(T.37,N'.2) [2(15], =/c x^ „-=— c-2'/j/7r,.(149S) 

 2 2q dq J x^ 2q 



[264] De cette methode, comme des deux suivantes il a été fait un usage frequent et utile dans les 

 deux Mémoires de Helmling : Transforraation und Ausmitteluug bestimmter Integrale. Dorpat. L.vakmax. 

 1851. 35 S. 4'. — Transformation und Aiismittelung bestimmter Integrale mit besonderer Riicksicht auf 

 grösscre Werthe der Griinzen und iniplizirten Constanten. Mitan. llEïiiEK. 1854, IV et 140. S. 4'. 



[265] Voycz encore Méth. 17, N\ 18. 



Pai^e 517. 



