III. M''. 24. N', 2, o. THEORIE, PROPRIÈTES, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



clou pour x = q;/: f e ^ •" f ~^ = -e-^li/n. (T. 126, N". 16). [266]. 



J y " 



o 

 /■* dl ["" 1 r=° 



3. Pour 1=1 c— ?'°^- Cos. Iqxdx ons.: — = — 2 ƒ e—P'^'Sin. Iqr. .rcLv = — | Siti. 2q.r. d. e-i'^^" = 



J '^ï ./ P'V 



o 



= ~7 [e-r^- Sin. 2 .^.r} — 2? ƒ e-P"-^" Cos ï^a- (^,v] = — (O — 2^ 1) = — ~ I, puisque Ie terme in- 







tégré s'cvanouit pour les deux limites O et co de ic, e—P^' étaut zéro pour x = y., et SinZqx 



dl —2qdq o^ _q2 



zero avec .r. Oii eu déduit — = , d'oü par 1'intégration : ZI = — ^^ + C', 1=0 e p'^. 



I p"- p- 



r ■, ■> 1 



Or, pour o zero Méth. 4, W. 7, doniie : ƒ e~P-^' dx = — t/n = Ce" = C, donc : 



o 



I = 



'o 



I e-P'^^'Cos.lqxdx^— e /-^ j/jr. (T. 2S0, N'. 4). [26 7J. 



[266] On pourrait aussi la dctcniiiiicr par Mctli. 1 : l e xi dx = e~1 j e \ x) dx. Mais 



o o 



la substitution de a;-j-- =^ doune uu rainiuuim pour 2 = 21/17, eutre les deux limites -\- co et -|- en de 



X 



:: et il faut substituer dcs-lors dans les deux iutégrales partielles par rapport v. z entre les limites co u 



21/17 et 2 (/ (7 ïi cc, respectivemcnt dx ^^ , ? ds et dx^ \ — \- \ dz. 



' ' ^ ' ^ U 2x/{z^—^p^)\ U^2i/(5^-4;9-')j 



r-x"--^'' r-[:,-.i\- 



Toutefois OU peut aisément éviter cette difliculté en. c'crivant ƒ e xi dx = e~^l } e \ x) dx' 



(j 'o 



la substitution de x = 2 donuc a present — co et -f- oc comme limites do i, sans aucun minimum 



X 



intermediaire. 



[367] Autrement déduite Méth. 23, N^ 3, 23 et Me'tli. 32, N^ 8, Mcth. 43, N'. 10. Laplane la 

 déduit encore au moyen de l'cxpression imaginaire de Üoa.iqx comme snit: 



I = - I e—p''^'{e'^'i^>-^e-^3^')dx=- j e-p'''x-+'iqxi dx -\- - f e— Z''^'— 2?« ( 



Dans la première il preud px i ==■. y, avce les limites et <» de y, dans la SRconde nx A--i ==. z avec — 



' _ /> ^ ^ P ^ - P P 



et co comme limites de z. Or, il u'est pas évident que pour x infiui on puisse prendre les limites supé- 

 rieures de Ji et de z réelles et infinies : mais lorsqu'on passc celte objection sous silence, il vient: 

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